Đến nội dung

Hình ảnh

Hội trường có 100 ghế ngồi được đánh số và 100 khách cũng được đánh số giống trên ghế.Tính xác suất để cả 100 khách ngồi sai vị trí của mình?

- - - - - xác suất - thống kê

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
hoang3112

hoang3112

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Hội trường có 100 ghế ngồi được đánh số và 100 khách cũng được đánh số giống trên ghế.Tính xác suất để cả 100 khách ngồi sai vị trí của mình?



#2
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết

Giải

Đặt: $\text{A}_i$: "Người thứ i ngồi đúng vị trí". (i = 1,2....100)

A:" Có ít nhất 1 người ngồi đúng vị trí của mình".

Ta có: $P(A) = P(A_1 + A_2 +... + A_n) = \sum_{i = 1}^{100}{P(A_i)}  - \sum_{1 \leq i < j \leq 100}{P(A_iA_j)} + ... - P(A_1.A_2....A_n) $

Ta tính lần lượt: 
$P(A_i) = \dfrac{1.99!}{100!} = \dfrac{1}{100} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{100}{P(A_i)} = 100.\dfrac{1}{100} = 1$

$P(A_iA_j) = P(A_i)P(A_i/A_j) = \dfrac{1}{100}.\dfrac{1.98!}{99!} = \dfrac{1}{99.100}$ 

$\Rightarrow \sum_{1 \leq i < j \leq 100}{P(A_iA_j)} = C_{100}^2.\dfrac{1}{99.100} = \dfrac{1}{2!}$

....

$P(A_1.A_2...A_{100}) = \dfrac{1}{100!}$

Như vậy: 
$P(A) = 1 - \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} - .... - \dfrac{1}{100!}$

Do đó, xác suất cần tìm là: 
$P(\bar{A}) =  1 - P(A) = \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{3!} + .... + \dfrac{1}{100!}$

 


Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#3
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Giải

Đặt: $\text{A}_i$: "Người thứ i ngồi đúng vị trí". (i = 1,2....100)
A:" Có ít nhất 1 người ngồi đúng vị trí của mình".
Ta có: $P(A) = P(A_1 + A_2 +... + A_n) = \sum_{i = 1}^{100}{P(A_i)}  - \sum_{1 \leq i < j \leq 100}{P(A_iA_j)} + ... - P(A_1.A_2....A_n) $
Ta tính lần lượt: 
$P(A_i) = \dfrac{1.99!}{100!} = \dfrac{1}{100} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{100}{P(A_i)} = 100.\dfrac{1}{100} = 1$

$P(A_iA_j) = P(A_i)P(A_i/A_j) = \dfrac{1}{100}.\dfrac{1.98!}{99!} = \dfrac{1}{99.100}$ 
$\Rightarrow \sum_{1 \leq i < j \leq 100}{P(A_iA_j)} = C_{100}^2.\dfrac{1}{99.100} = \dfrac{1}{2!}$
....
$P(A_1.A_2...A_{100}) = \dfrac{1}{100!}$
Như vậy: 
$P(A) = 1 - \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} - .... - \dfrac{1}{100!}$

Do đó, xác suất cần tìm là: 
$P(\bar{A}) =  1 - P(A) = \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{3!} + .... + \dfrac{1}{100!}$
Thiết nghĩ cần tiếp nối để lời giải được trọn vẹn hơn.
(Cont.)
...Như vậy, tổng quát ta có:
$P \left ( \overline{A} \right )=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}$   $ (*)$
Chuỗi này là $(n+1)$ số hạng đầu của $\sum_{k=0}^{\infty }\frac {(-1)^k}{k!}$ là chuỗi lũy thừa của hàm $e^x$ khi $x=-1$. Chuỗi này hội tụ rất nhanh. Hiệu giữa $e^{-1} $ và $(*)$ luôn luôn nhỏ hơn $\frac {1}{n!}$. Thí dụ, $e^{-1}=0,367879....$và với $n=8$, thì $(*)$ bằng $0,367888$ ( với $n=5 $ thì bằng $0,366$).
Do đó, với $n$ không quá nhỏ thì xác suất cần tìm là $\boldsymbol {\approx e^{-1} \approx 0,367879...} $ (không phụ thuộc vào n).
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: xác suất - thống kê

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh