Cực trị:
1. Cho $x, y, z > 0$. Tìm GTNN: $A = \frac{1}{2}(x^{2} + y^{2} + z^{2}) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{xyz}$
2. CMR: $T = \frac{x}{y} + \sqrt{\frac{y}{z}} + \sqrt[3]{\frac{z}{x}} > 2$ khi $x, y, z > 0$. Xác định GTNN của T
3. Tìm GTNN của hàm số:
$y = \sqrt{5x^{2} + 20} + \sqrt{5x^{2} - 32x + 64} + \sqrt{5x^{2} - 40x + 100} + \sqrt{5x^{2} - 8x + 16}$
4. Tìm GTNN: $T = \sqrt{a^{2} + 4} + \sqrt{a - 2ab + b^{2} + 1} + \sqrt{b^{2} - 6b + 10}$
5. Cho $a, b, c > 0$. Tìm GTNN:
$A = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{ab + bc + ca} + \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$
6. Cho $x, y, z \in \left [ 1;2 \right ]$. Tìm GTLN và GTNN của:
$P = \frac{x + y}{2 + z} + \frac{y + z}{2 + x} + \frac{z + x}{2 + y}$
7. Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $xyz = 1$. Tìm GTNN:
$P = \frac{x^{2}(y + z)}{y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}} + \frac{y^{2}(z + x)}{z\sqrt{z} + 2x\sqrt{x}} + \frac{z^{2}(x + y)}{x\sqrt{x} + 2y\sqrt{y}}$
8. Cho $a, b, c > 0$. Tìm GTNN:
$Q = \frac{a^{3}}{(1 - a)^{2}} + \frac{b^{3}}{(1 - b)^{2}} + \frac{c^{3}}{(1 - c)^{2}} với a + b + c = 1$
9. Cho $x, y > 0$ thỏa mãn $x + y \leq 6$. Tìm GTLN và GTNN của:
$C = x^{2}y(4 - x - y)$
10. Cho $x > 0$. Tìm GTNN: $y = x + \frac{11}{2x} + \sqrt{4(1 + \frac{7}{x^{2}})}$
11. Cho $x, y \geq 0$. Tìm GTLN và GTNN: $P = \frac{(x - y)(1 - xy)}{(1 + x)^{2}(1 + y)^{2}}$
12. Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $x + y + z = 1$. Tìm GTNN:
$P = \sqrt{(x^{2} + xy + y^{2})(y^{2} + yz + z^{2})} + \sqrt{(y^{2} + yz + z^{2})(z^{2} + zx + x^{2})} + \sqrt{(z^{2} + zx + x^{2})(x^{2} + xy + y^{2})}$
13. Cho $x, y$ thỏa mãn $(x + y)^{3} + 4xy \geq 2$. Tìm GTNN:
$A = 3(x^{4} + y^{4} + x^{2}y^{2}) - 2(x^{2} + y^{2}) + 1$
14. Cho $x, y \geq 0$ thỏa mãn $x + y = 1$. Tìm GTNN và GTLN:
$S = (4x^{2} + 3y)(4y^{2} + 3x) + 25y$
15. Cho $x, y$ thỏa mãn $x - 3\sqrt{x + 1} = 3\sqrt{y + 2} - y$. Tìm GTLN và GTNN: $P = x + y$
16. Cho $x, y, z \in \left [ -1;1 \right ]$ và $x + y + z = 0$. Tìm GTNN:
$S = \sqrt{1 + x + y^{2}} + \sqrt{1 + y + z^{2}} + \sqrt{1 + z + x^{2}}$
Bất đẳng thức:
17. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. CMR:
$\frac{a^{2}}{a + 2b^{2}} + \frac{b^{2}}{b + 2c^{2}} + \frac{c^{2}}{c + 2a^{2}} \geq 1$
18. Cho 3 số thực $a, b, c \in \left [ 0;1 \right ]$. CMR:
$3 + a^{3}b^{2} + b^{3}c^{2} + c^{3}a^{2} \geq 2(a^{3} + b^{3} + c^{3})$
19. CMR: Nếu $x, y, z > 0$ và $x(x + y + z) = 3yz$ thì:
$(x + y)^{3} + (x + z)^{3} + 3(x + y)(y + z)(z + x) \leq 5(y + z)^{3}$
20. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $abc = 1$. CMR:
$\frac{1}{1 + a + b} + \frac{1}{1 + b + c} + \frac{1}{1 + c + a} \leq \frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c}$
21. Cho $a, b, c, d > 0$ thỏa mãn $abcd = 1$. CMR:
$\frac{1}{1 + ab + bc + ca} + \frac{1}{1 + bc + cd + db} + \frac{1}{1 + cd + da + ac} + \frac{1}{1 + da + ab + bd} \leq 1$
22. Cho $x, y, z > 0$. CMR:
$\frac{y + z}{x + \sqrt[3]{4(y^{3} + z^{3})}} + \frac{z + x}{y + \sqrt[3]{4(z^{3} + x^{3})}} + \frac{x + y}{z + \sqrt[3]{4(x^{3} + y^{3})}} \leq 2$
23. CMR: Nếu $n$ nguyên dương, $n > 1$ thì:
$\left | a^{n} + b^{n} + c^{n} + d^{n} \right | \leq (\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}})^{n}$
24. Cho $a, b, c \geq 0$. CMR: $2(a^{2} + 1)(b^{2} + 1)(c^{2} + 1) \geq (a + 1)(b + 1)(c + 1)(abc + 1)$
25. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 1$. CMR:
$\frac{11a + 9b}{9a(a + b)} + \frac{11b + 9c}{9b(b + c)} + \frac{11c + 9a}{9c(c + a)} \geq 10$
26. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $abc = 1$. CMR:
$\frac{2}{(a + 1)^{2} + b^{2} + 1} + \frac{2}{(b + 1)^{2} + c^{2} + 1} + \frac{2}{(c + 1)^{2} + a^{2} + 1} \leq 1$
27. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c \geq abc$. CMR: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \sqrt{3}abc$
28. Cho $a, b, c > 0$. CMR: $\sum \frac{a^{4}}{a^{4} + \sqrt[3]{(a^{6} + b^{6})(a^{3} + c^{3})^{2}}} \leq 1$
29. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $ab + bc + ca = abc$. CMR:
$\frac{a^{4} + b^{4}}{ab(a^{3} + b^{3})} + \frac{b^{4} + c^{4}}{bc(b^{3} + c^{3})} + \frac{c^{4} + a^{4}}{ca(c^{3} + a^{3})} \geq 1$
30. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$. CMR: $5(a + b + c) + \frac{3}{abc} \geq 18$
31. Cho $a, b, c \geq -1$ thỏa mãn $a + b + c = 1$. CMR:
$\frac{a}{1 + a^{2}} + \frac{b}{1 + b^{2}} + \frac{c}{1 + c^{2}} \leq \frac{9}{10}$
32. Cho $a, b, c > 0$. CMR:
$\sqrt{\frac{2a}{a + b}} + \sqrt{\frac{2b}{b + c}} + \sqrt{\frac{2c}{c + a}} \leq 3$
33. Cho $a, b, c \geq 0$. CMR:
$8(a^{2} + 1)^{3}(b^{2} + 1)^{3}(c^{2} + 1)^{3} \geq (a + 1)^{3}(b + 1)^{3}(c + 1)^{3}(a^{3} + 1)(b^{3} + 1)(c^{3} + 1)$
34. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. CMR:
$\frac{a}{ab + b^{3}} + \frac{b}{bc + c^{3}} + \frac{c}{ca + a^{3}} \geq \frac{3}{2}$
35. Cho $x, y, z > 0$. CMR:
$\frac{2x}{x^{6} + y^{4}} + \frac{2y}{y^{6} + z^{4}} + \frac{2z}{z^{6} + x^{4}} \leq \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{y^{4}} + \frac{1}{z^{4}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhxtanh1879: 04-10-2015 - 10:21