cho a,b,c là các số thực dương c/m
$\frac{a^{2}+2bc}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}+2ac}{(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}+2ab}{(a+b)^{2}}$$\geq$$\frac{9}{4}$
p/s thầy em kêu là dùng S.O.S dùng cách khác có được ko ạ cho em xin cách S.O.S và nhiều cách khác
cho a,b,c là các số thực dương c/m
$\frac{a^{2}+2bc}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}+2ac}{(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}+2ab}{(a+b)^{2}}$$\geq$$\frac{9}{4}$
p/s thầy em kêu là dùng S.O.S dùng cách khác có được ko ạ cho em xin cách S.O.S và nhiều cách khác
cho a,b,c là các số thực dương c/m
$\frac{a^{2}+2bc}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}+2ac}{(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}+2ab}{(a+b)^{2}}$$\geq$$\frac{9}{4}$
p/s thầy em kêu là dùng S.O.S dùng cách khác có được ko ạ cho em xin cách S.O.S và nhiều cách khác
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$$(\sum \dfrac{a^2+2bc}{(b+c)^2})(\sum (a^2+2bc))\geq (\sum \dfrac{a^2+2bc}{b+c})^2$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
$$\sum \dfrac{a^2+2bc}{b+c}\geq \dfrac{3(a+b+c)}{2}$$
Khai triển ra ta có BĐT tương đương với:
$$2\sum a^4+2abc\sum a\geq \sum a^3(b+c)+2\sum a^2b^2$$
BĐT này hiển nhiên đúng vì theo BĐT Schur và BĐT AM-GM:
$$2\sum a^4+2abc\sum a\geq 2\sum a^3(b+c)$$
$$\sum a^3(b+c)=\sum ab(a^2+b^2)\geq 2\sum a^2b^2$$
Cộng 2 BĐT này lại ta có đpcm.
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$$(\sum \dfrac{a^2+2bc}{(b+c)^2})(\sum (a^2+2bc))\geq (\sum \dfrac{a^2+2bc}{b+c})^2$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
$$\sum \dfrac{a^2+2bc}{b+c}\geq \dfrac{3(a+b+c)}{2}$$
Khai triển ra ta có BĐT tương đương với:
$$2\sum a^4+2abc\sum a\geq \sum a^3(b+c)+2\sum a^2b^2$$
BĐT này hiển nhiên đúng vì theo BĐT Schur và BĐT AM-GM:
$$2\sum a^4+2abc\sum a\geq 2\sum a^3(b+c)$$
$$\sum a^3(b+c)=\sum ab(a^2+b^2)\geq 2\sum a^2b^2$$
Cộng 2 BĐT này lại ta có đpcm.
cái này ở trong sáng tạo bđt phải ko :v
Hình như vậy, cũng không nhớ lắm
Bài toán này nổi tiếng quá rồi
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh