Đến nội dung


Hình ảnh

TOPIC ôn luyện VMO 2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 50 trả lời

#1 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 30-09-2015 - 21:43

-Đến hẹn lại lên,hiện tại các tỉnh thành trên cả nước đang diễn ra các kì thi chọn đội tuyển và cũng có các tỉnh đã bắt đầu quá trình ôn luyện. Để đáp ứng nhu cầu có một nơi trao đổi,thảo luận các bài toán chuẩn bị cho VMO 2016,mình xin lập ra topic để các bạn cùng trao đổi thảo luận cũng như sẽ có thêm 1 chút tài liệu,kiến thức cần thiết chuẩn bị cho kì thi olympic toán quan trọng nhất trong năm

-Yêu cầu:+chấp hành nội quy diễn đàn

                 + ghi Bài...( số học,hình học,tổ hợp,...)

                 + thời gian mỗi bài là 1 tuần,nếu không có ai làm được thì người ra đề phải post đáp án

mình sẽ bắt đầu trước với 1 bài toán đơn giản sau:

Bài 1:(Tổ hợp)

Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương ta có:

$\sum_{k=0}^{m}C^k_{n+k}2^{m-k}+\sum_{k=0}^{n}C^k_{m+k}2^{n-k}=2^{m+n+1}$


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#2 dangkhuong

dangkhuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 30-09-2015 - 22:04

Bài 2:(Bất đẳng thức):

Cho $a,b,c>0$: $a^2+b^2+c^2=\dfrac{11}{7}(ab+bc+ca)$. Tìm Min và Max của $P$=$\sum \dfrac{a}{b+c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 30-09-2015 - 22:05

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#3 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 239 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 30-09-2015 - 23:29

Bài 2:(Bất đẳng thức):

Cho $a,b,c>0$: $a^2+b^2+c^2=\dfrac{11}{7}(ab+bc+ca)$. Tìm Min và Max của $P$=$\sum \dfrac{a}{b+c}$

Lời giải

Chuẩn hóa $ab+bc+ca=7$ thì $a+b+c=5$

Giả sử $c=max\left \{ a,b,c \right \} \Rightarrow 14-3(a+b)> 0$

Ta có: $P=\frac{3abc+\left ( a+b+c \right )^3-2\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )}{\left ( ab+bc+ca \right )\left ( a+b+c \right )-abc}=\frac{3abc+55}{35-abc}$

Ta có: $7=ab+bc+ca=c(a+b)+ab=\left ( a+b \right )\left ( 5-a-b \right )+ab$

Đặt $a+b=s,ab=p$ thì $7=s\left ( 5-s \right )+p\Leftrightarrow p=7-s\left ( 5-s \right )$

Lại có: $abc=p\left ( 5-s \right )=\left [7-s\left ( 5-s \right ) \right ]\left ( 5-s \right )$

Ta đi chứng minh $abc=\left [7-s\left ( 5-s \right ) \right ]\left ( 5-s \right )\geq \frac{49}{27}\Leftrightarrow \frac{1}{27}\left ( 14-3s \right )\left ( 3s-8 \right )^2$(đúng)

Tương tự $abc \leq 3$

Từ đó ta tìm được $P_{min}=\frac{51}{28}$ và $P_{max}=2$

 

Một số bài tương tự đã có trên diễn đàn: http://diendantoanho...1afrac1bfrac1c/


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#4 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4081 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐN
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 30-09-2015 - 23:42

Bài 1:(Tổ hợp)

Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương ta có:

$\sum_{k=0}^{m}C^k_{n+k}2^{m-k}+\sum_{k=0}^{n}C^k_{m+k}2^{n-k}=2^{m+n+1}$

Gợi ý:

\[\sum\limits_{k = 0}^m {C_{n + k}^k} {2^{m - k}} + \sum\limits_{k = 0}^n {C_{m + k}^k} {2^{n - k}} = {2^{m + n + 1}} \Leftrightarrow {2^m}\sum\limits_{k = 0}^m {\frac{{C_{n + k}^k}}{{{2^k}}}}  + {2^n}\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{C_{m + k}^k}}{{{2^k}}}}  = {2^{m + n + 1}}\]

Chú ý $C_{ - n}^k = C_{n + k}^k$ và ${\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)^{ - n}} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_{ - n}^k{{\left( { - 1} \right)}^k}\frac{1}{{{2^k}}}}$

Khi đó \[VT = {2^m}{\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)^{ - n}} + {2^n}{\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)^{ - m}} = {2^{m + n + 1}}\]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#5 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 30-09-2015 - 23:57

Bài 3 (Hình học). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,AB$ tại $E,F$ và tiếp xúc trong $(O)$ tại $D$. $AD$ cắt $(K)$ tại $L$ khác $D$. Tiếp tuyến tại $L$ của $(K)$ cắt $(O)$ tại $M,N$. Gọi $P$ là tâm nội tiếp tam giác $DMN$. Chứng minh rằng $\angle DEP+\angle DFP=90^\circ$.

Rất xin lỗi vì đề lúc đầu mình gửi chưa chính xác!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 01-10-2015 - 20:07


#6 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 02-10-2015 - 09:27

Bài 4(Số học). Cho $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, m là số chẵn. Tìm ước số chung lớn nhất của $m^2+n^2$ và $m^3+n^3$


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#7 Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{THPT}}$ $ \boxed{\textrm{Chuyên Quốc Học}} $
  • Sở thích:$\star\textrm{Tìm hiểu}\star$
    $\textrm{Văn hóa Nhật Bổn}$

Đã gửi 02-10-2015 - 17:32

Bài 4(Số học). Cho $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, m là số chẵn. Tìm ước số chung lớn nhất của $m^2+n^2$ và $m^3+n^3$

 Đặt :         $d=(m^2+n^2,m^3+n^3)$       $(d \in \mathbb{Z^+})$

Vì $(m,n)=1$ và $m$ chẵn nên dễ thấy $d$ lẻ

Ta có:

$m^3+n^3=(m^2+n^2)(m+n)-mn(m+n)$

Do đó         $d=(m^2+n^2,mn(m+n))$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} d|m^2+n^2 & & \\ d|mn(m+n) & & \end{matrix}\right.$                     (1)

Vì $(m,n)=1$ nên ta xét các trường hợp:

- TH1:  Nếu $d| m+n$ thì từ (1) ta có:

           $d|(m+n)^2-2mn$   $\Rightarrow d|2mn$    $\Rightarrow d|mn$ (Vì $d$ lẻ)

     Nếu $d|m$  $\Rightarrow d|n$   $\Rightarrow d=1$

     Tương tự nếu $d|n$ thì suy ra $d=1$

- TH2:  Nếu $d|m$ thì từ (1) suy ra $d|n$   $\Rightarrow d=1$

- TH3: Nếu $d|n$ thì tương tự ta có $d=1$

          Vậy $(m^2+n^2,m^3+n^3)=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 02-10-2015 - 17:33


#8 Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{THPT}}$ $ \boxed{\textrm{Chuyên Quốc Học}} $
  • Sở thích:$\star\textrm{Tìm hiểu}\star$
    $\textrm{Văn hóa Nhật Bổn}$

Đã gửi 02-10-2015 - 17:37

Bài 5: (Số học)

Cho $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn $|a|>1,|b|>1$. Biết rằng có vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho mỗi một trong chúng tồn tại số nguyên dương $m$ thõa mãn   $(a^m+b) \vdots (a^n+1)$.

Chứng minh rằng:                    $\exists k \in \mathbb{N^*}, |b|=|a|^k$



#9 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 03-10-2015 - 18:06

Topic này rất hay sao ít người hưởng ứng vậy ? Sau đây là đáp án bài 3

 

Giải. Theo tính chất đường tròn tiếp xúc dây cung quen thuộc thì $AP^2=AN^2=AL.AP=AF^2$ hay tam giác $APF$ cân. Từ đó $\angle PFD=\angle APF-\angle ADF=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle PAF-\dfrac{1}{2}\angle BDA$. Tương tự $\angle PED=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle PAE-\dfrac{1}{2}\angle CDA$. Vậy $\angle PFD+\angle PED=180^\circ-\dfrac{1}{2}(\angle PAF+\angle BDA+\angle PAE+\angle CDA)=90^\circ$.

Hình gửi kèm

  • Fig26.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 03-10-2015 - 18:11


#10 binvippro

binvippro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 193 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 03-10-2015 - 18:12

mình thấy topic ôn luyện VMO 2015 sao mạnh mẽ mà topic này ít người hưởng ứng vậy  :icon6:



#11 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 04-10-2015 - 15:57

Topic này rất hay sao ít người hưởng ứng vậy ? Sau đây là đáp án bài 3

 

Giải. Theo tính chất đường tròn tiếp xúc dây cung quen thuộc thì $AP^2=AN^2=AL.AP=AF^2$ hay tam giác $APF$ cân. Từ đó $\angle PFD=\angle APF-\angle ADF=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle PAF-\dfrac{1}{2}\angle BDA$. Tương tự $\angle PED=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle PAE-\dfrac{1}{2}\angle CDA$. Vậy $\angle PFD+\angle PED=180^\circ-\dfrac{1}{2}(\angle PAF+\angle BDA+\angle PAE+\angle CDA)=90^\circ$.

dạ chắc do hiện tại nhiều thành viên đang tập trung ôn luyện thi vào đội tuyển của các tỉnh nên chưa có nhiều thời gian onl VMF. Em cũng xin đóng góp 1 bài hình mà áp dụng bổ đề ERIQ rất thú vị và cũng là bài hình TST 2009

Bài 6(Hình học).

Cho AB cố định. Với mỗi điểm M không nằm trên AB, tia phân giác trong $\widehat{AMB}$  cắt (AB) tại N, tia phân giác ngoài $\widehat{AMB}$ cắt NA,NB tại P,Q. (NQ)$\cap$MA={M,R}, (NP)$\cap$MB={M,S}. Cmr đường trung tuyến ứng với đỉnh N của $\bigtriangleup$NRS luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#12 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 07-10-2015 - 13:02

Bài 7(Phương trình hàm).

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: 

$xf\left (y \right )+f\left (xf\left (y \right ) \right )-xf\left (f\left (y \right ) \right )-f\left (xy \right )=2x+f\left (y \right )-f\left (x+y \right )$


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#13 longnguyenviet141

longnguyenviet141

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Tổ Hợp, Hình học, số học, BĐT

Đã gửi 01-11-2015 - 23:20

Bài 1:(Tổ hợp)

Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương ta có:

$\sum_{k=0}^{m}C^k_{n+k}2^{m-k}+\sum_{k=0}^{n}C^k_{m+k}2^{n-k}=2^{m+n+1}$

Đếm bằng hai cách

Ta sẽ đếm số tập con của tập có m+n+1 phần tử

Xét Tập $X = {1, 2,...., m+n+1}$

Cách 1: Đếm số tập con của X là $2^{m+n+1}$

Cách 2: Ta sẽ phân hoạch tập con của X thành 2 loại I và II

 * Loại I: là các tập con có dạng $A = {x_{1}, x_{2}, x_{3},...., x_{n+i}}$ Trong đó $1 \leqslant i \leqslant m+1$

   Không mất tính tổng quát giả sử $x_{1} < x_{2} < x_{3} < ... < x_{n+i}$ khi đó $x_{n+1} = n+1+k$ với $0 \leqslant k \leqslant m$

Để thiết lập tập con A ta thực hiện các bước sau:

 Bước I: Chọn n phần từ bất kì từ n+k phần tử, có tất cả $\begin{pmatrix} n+k\\n \end{pmatrix}$

 Bước II:rồi ta thêm một số tập con của tập $ {n+k+2, n+k+3,....n+m+1}$ có $2^{m-k}$ cách thêm Như vậy có tất cả: $\begin{pmatrix} n+k\\n \end{pmatrix}.2^{m-k}$ tập A có số phần tử lớn hơn n

 Loại II: tương tự ta cũng tính được $\begin{pmatrix} m+k\\n \end{pmatrix}.2^{n-k}$ tập con có số phần tử lớn hơn m, tương ứng mỗi tập con có số phần tử lớn hơn m ta tìm được tập con có số phàn tử không quá n

Như vậy số tập con của X bằng $\begin{pmatrix} m+k\\n \end{pmatrix}.2^{n-k}$ + $\begin{pmatrix} n+k\\n \end{pmatrix}.2^{m-k}$

Hay  $\begin{pmatrix} m+k\\n \end{pmatrix}.2^{n-k}$ + $\begin{pmatrix} n+k\\n \end{pmatrix}.2^{m-k}$ = $2^{m+n+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longnguyenviet141: 01-11-2015 - 23:40


#14 halloffame

halloffame

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 450 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 25-11-2015 - 22:25

Bài 8(Hình học): Cho tam giác $ABC,$ đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ ở $D.E$ đối xứng $D$ qua $I.$ Chứng minh $E$ là trực tam tam giác $IBC$ khi và chỉ khi $AB+AC=3BC.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 18-12-2015 - 16:07

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
I am MPCBCNMLHTBHMLPC.

#15 CandyPanda

CandyPanda

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 25-11-2015 - 22:53

Bài 8(Hình học): Cho tam giác $ABC,$ đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ ở $D.E$ đối xứng $D$ qua $I.$ Chứng minh $E$ là trực tam tam giác $IBC$ khi và chỉ khi $AB+AC=3BC.$

$(O)\equiv (IBC)$ Do ID vuông góc BC nên E là trực tâm IBC <=> IE = 2 OM (M trung điểm BC)
Ta có: $IE = \tan \frac{A}{2}\frac{AB+AC-BC}{2}$, $OM = \tan \frac{A}{2}\frac{BC}{2}$ nên có đpcm



#16 halloffame

halloffame

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 450 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 26-11-2015 - 11:53

Bài 9(Hình học) : Cho tam giác $ABC,E,F$ trung điểm $CA,AB. AA'$ đường cao$.M_{a}, N_{a}$ đối xứng $A$ qua $A'F,A'E.(A'EM_{a})$ cắt $(A'FN_{a})$ ở $L_{a}.A'L_{a}$ cắt $EF$ ở $X.$ Tương tự có $Y,Z.$ Chứng minh $AX,BY,CZ$ đồng quy.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 18-12-2015 - 16:08

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
I am MPCBCNMLHTBHMLPC.

#17 Emyeutiengviet

Emyeutiengviet

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 29-11-2015 - 19:08

Bài 7(Phương trình hàm).

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: 

$xf\left (y \right )+f\left (xf\left (y \right ) \right )-xf\left (f\left (y \right ) \right )-f\left (xy \right )=2x+f\left (y \right )-f\left (x+y \right )$

$P(1,x) : f(x+1) = f(x)+2. (1)$

Đặt $g(x) = f(x) - 2x$ Từ (1) suy ra $g(x+1) = g(x) \forall x \in \mathbb{R}$. Suy ra $g(x) \equiv C \forall x \in \mathbb{R}.$

Như vậy $\boxed{f(x) = 2x +C}  \forall x \in \mathbb{R} $ với $C$ là hằng số tùy ý.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Emyeutiengviet: 29-11-2015 - 19:09


#18 huyaguero

huyaguero

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.Vinh,Nghệ An
  • Sở thích:thích học toán

Đã gửi 12-12-2015 - 17:07

$P(1,x) : f(x+1) = f(x)+2. (1)$

Đặt $g(x) = f(x) - 2x$ Từ (1) suy ra $g(x+1) = g(x) \forall x \in \mathbb{R}$. Suy ra $g(x) \equiv C \forall x \in \mathbb{R}.$

Như vậy $\boxed{f(x) = 2x +C}  \forall x \in \mathbb{R} $ với $C$ là hằng số tùy ý

$g(x+1)=g(x)$ sao suy ra $g(x) \equiv C$



#19 huyaguero

huyaguero

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.Vinh,Nghệ An
  • Sở thích:thích học toán

Đã gửi 12-12-2015 - 17:44

$g(x+1)=g(x)$ sao suy ra $g(x) \equiv C$

 

$P(1,x) : f(x+1) = f(x)+2. (1)$

Đặt $g(x) = f(x) - 2x$ Từ (1) suy ra $g(x+1) = g(x) \forall x \in \mathbb{R}$. Suy ra $g(x) \equiv C \forall x \in \mathbb{R}.$

Như vậy $\boxed{f(x) = 2x +C}  \forall x \in \mathbb{R} $ với $C$ là hằng số tùy ý.

$P(x,1) : xf(1)+f(f(1)x)-xf(f(1))-f(x)=2x +f(1) - f(x+1)=2x+f(1) -f(x) -2 \Rightarrow f(x)=ax+b \Rightarrow f(x)=2x+C$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyaguero: 12-12-2015 - 17:44


#20 Emyeutiengviet

Emyeutiengviet

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 14-12-2015 - 18:24

$g(x+1)=g(x)$ sao suy ra $g(x) \equiv C$

$g(x+1)=g(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ mà bạn. Hay là mình nhầm?






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh