Chủ đề này có 1 trả lời

[songokucadic1432]

cho a,b,c>0 và a+b+c=6 

tìm min $\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}$

[hoanglong2k]

cho a,b,c>0 và a+b+c=6 

tìm min $\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}$

 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

 $\sum \frac{a}{\sqrt[3]{b^3+1}}=\sum \frac{2a}{2\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}}\geq \sum \frac{2a}{b^2+2}$

 $=\sum \left ( a-\frac{ab^2}{b^2+2}\right )=\sum \left ( a-\frac{ab^2}{\frac{b^2}{2}+\frac{b^2}{2}+2} \right )\geq \sum \left ( a-\frac{a\sqrt[3]{2b^2}}{3} \right )$

 $=6-\frac{\sum a\sqrt[3]{2b^2}}{3}$

 Lại có :

 $\sum a\sqrt[3]{2b^2}\leq \frac{1}{3}.\sum a(b+b+2)=\frac{2}{3}\left (\sum ab+\sum a\right )\leq 6$

 Suy ra $\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geq 4$