Chủ đề này có 13 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

Ngày thi : 02/10/2015

Thời gian làm bài : 180 phút

( Đề thi gồm 01 trang )

 

Bài I: (3,0 điểm)

Cho hàm số $y=x^{3}+3x^{2}$, có đồ thị ($C$). Tìm trên trục hoành các điểm mà từ đó kẻ được đến đồ thị ($C$) ba tiếp tuyến phân biệt, trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

 

Bài II: (5,0 điểm)

1) Giải phương trình $2\sqrt{-2x^{2}+5x+7}=x^{3}-3x^{2}-x+12$

2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^{3}+xy^{2}=y^{6}+y^{4} \\ 3\sqrt{7+2x^{2}}+\sqrt{3-2y^{4}}=10 \end{matrix}\right.$

 

Bài III: (3,0 điểm)

Cho $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng $1$ . Chứng minh 

$4.\sum \frac{1}{a+b} \leq (\sum \frac{1}{a})+9$

 

Bài IV: (5,0 điểm)

Cho hai tia $Ax;By$ chéo nhau, có $AB$ là đoạn vuông góc chung. Điểm $M$ di động trên tia $Ax$ ($M$ khác $A$), điểm $N$ di động trên tia $By$ ($N$ khác $B$) sao cho $AM+BN=MN$. Gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $MN$ .

1) Chứng minh $HM=AM$ và $HN=BN$

2) Chứng minh $H$ thuộc một đường tròn cố định.

 

Bài V: (4,0 điểm)

Cho dãy số ($x_{n}$) xác định bởi $\left\{\begin{matrix}x_1=1 \\ x_{n+1}=x_n^{2016}+x_n,n=1,2,... \end{matrix}\right.$

Xét dãy số ($y_n$) với $y_n=\frac{x_1^{2015}}{x_2}+\frac{x_2^{2015}}{x_3}+....+\frac{x_n^{2015}}{x_n+1},n=1,2,...$

1) Chứng minh $y_n=1-\frac{1}{x_{n+1}}$

2) Tìm $lim$ $y_n$

 

--------------------Hết--------------------

 

[Dinh Xuan Hung]

 

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

Ngày thi : 02/10/2015

Thời gian làm bài : 180 phút

( Đề thi gồm 01 trang )

 

Bài II: (5,0 điểm)

1) Giải phương trình $2\sqrt{-2x^{2}+5x+7}=x^{3}-3x^{2}-x+12$

 

 

--------------------Hết--------------------

 

[Dinh Xuan Hung]

 

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

Ngày thi : 02/10/2015

Thời gian làm bài : 180 phút

( Đề thi gồm 01 trang )

 

 

 

Bài III: (3,0 điểm)

Cho $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng $1$ . Chứng minh 

$4.\sum \frac{1}{a+b} \leq (\sum \frac{1}{a})+9$

 

 

 

--------------------Hết--------------------

 

[hoangson2598]

 

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

Ngày thi : 02/10/2015

Thời gian làm bài : 180 phút

( Đề thi gồm 01 trang )

 

 

2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^{3}+xy^{2}=y^{6}+y^{4} \\ 3\sqrt{7+2x^{2}}+\sqrt{3-2y^{4}}=10 \end{matrix}\right.$

 

 

Câu hệ:

Phương trình bên trên

Xét y=0 thì hệ vô nghiệm

Xét y khác 0. Chia hai vế cho $y^3$

Xuất hiện hàm đặc trưng. Suy ra $\frac{x}{y}=y\Leftrightarrow x=y^2$

Thế vào pt 2

$3\sqrt{7+2x^2}+\sqrt{3-2x^2}$

Đặt $\sqrt{7+2x^2}=a$ $\sqrt{3-2x^2}=b$ 

Suy ra 3a+b=10 và $a^2+b^2=10$ đến đây thì thế từ pt 1 vào pt 2 sẽ ra pt bậc 2

[hoangson2598]

 

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

Ngày thi : 02/10/2015

Thời gian làm bài : 180 phút

( Đề thi gồm 01 trang )

 

 

 

 

Bài V: (4,0 điểm)

Cho dãy số ($x_{n}$) xác định bởi $\left\{\begin{matrix}x_1=1 \\ x_{n+1}=x_n^{2016}+x_n,n=1,2,... \end{matrix}\right.$

Xét dãy số ($y_n$) với $y_n=\frac{x_1^{2015}}{x_2}+\frac{x_2^{2015}}{x_3}+....+\frac{x_n^{2015}}{x_n+1},n=1,2,...$

1) Chứng minh $y_n=1-\frac{1}{x_{n+1}}$

2) Tìm $lim$ $y_n$

 

--------------------Hết--------------------

 

Câu dãy:

a, $x_{n+1}=x_{n}^{2016}+x_{n}\Leftrightarrow \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=x_{n}^{2015}+1\Leftrightarrow \frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{x_{n}^{2015}}{x_{n+1}}$

Tương tự rồi cộng vào, suy ra $y_n=1-\frac{1}{x_{n+1}}$

b, Ta có $x_{n+1}-x_{n}=x_{n}^{2016}>0$ Suy ra dãy là dãy tăng. Suy ra khi n tiến tới vô cùng thì $x_{n+1}$ tiến tới vô cùng

Suy ra  Lim y=1-0=1

P/s: Ai vẽ hộ mình cái câu hình cái!  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangson2598: 02-10-2015 - 20:09

[nguyenhongsonk612]

 

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

Ngày thi : 02/10/2015

Thời gian làm bài : 180 phút

( Đề thi gồm 01 trang )

 

 

 

Bài IV: (5,0 điểm)

Cho hai tia $Ax;By$ chéo nhau, có $AB$ là đoạn vuông góc chung. Điểm $M$ di động trên tia $Ax$ ($M$ khác $A$), điểm $N$ di động trên tia $By$ ($N$ khác $B$) sao cho $AM+BN=MN$. Gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $MN$ .

1) Chứng minh $HM=AM$ và $HN=BN$

2) Chứng minh $H$ thuộc một đường tròn cố định.

 

 

 

--------------------Hết--------------------

 

Giải

$1)$ Theo định lí Pytago ta có

$OM^2=OA^2+AM^2=OH^2+MH^2$

$ON^2=OB^2+BN^2=OH^2+NH^2$

$\Rightarrow AM^2-BN^2=MH^2-NH^2$ (do $OA=OB$)

$\Leftrightarrow (AM-BN)(AM+BN)=(MH-NH)(MH+NH)\Leftrightarrow MN(AM-BN)=MN(MH-NH)$

$\Leftrightarrow AM-BN=MH-NH$

Lại có $AM+BN=MN=MH+NH$ nên dễ dàng suy ra đpcm

$2)$ Áp dụng định lí Pytago ta có

$OH^2=OM^2-MH^2=OM^2-AM^2=OA^2=OB^2$$\Leftrightarrow OH=OA=OB=\frac{1}{2}AB$

$\Rightarrow \Delta AHB$ vuông tại $H$

Mà $A,B$ cố định $\Rightarrow H \in (O;OA)$ cố định 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 03-10-2015 - 22:25

[duaconcuachua98]

 

 

Bài III: (3,0 điểm)

Cho $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng $1$ . Chứng minh 

$4.\sum \frac{1}{a+b} \leq (\sum \frac{1}{a})+9$

 

Cách khác: BĐT tương đương $\sum \frac{4}{1-c}\leq \sum \frac{1}{c}+9$

Ta chứng minh: $\frac{4}{1-c}-\frac{1}{c}\leq 18c-3$ $(1)$

Thật vậy: $(1)\Leftrightarrow 5c-1\leq -18c^{3}+21c^{2}-3c\Leftrightarrow 18c^{3}-21c^{2}+8c-1\leq 0\Leftrightarrow \left ( 3c-1 \right )^{2}(2c-1)\leq 0$

Do $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên $a+b>c\Leftrightarrow c< \frac{1}{2}$

Vậy bđt cơ sở là đúng 

Tương tự $\frac{4}{1-a}-\frac{1}{a}\leq 18a-3$ và $\frac{4}{1-b}-\frac{1}{b}\leq 18b-3$

Cộng 3 bđt lại suy ra đpcm 

[superpower]

Cách khác: BĐT tương đương $\sum \frac{4}{1-c}\leq \sum \frac{1}{c}+9$

Ta chứng minh: $\frac{4}{1-c}-\frac{1}{c}\leq 18c-3$ $(1)$

Thật vậy: $(1)\Leftrightarrow 5c-1\leq -18c^{3}+21c^{2}-3c\Leftrightarrow 18c^{3}-21c^{2}+8c-1\leq 0\Leftrightarrow \left ( 3c-1 \right )^{2}(2c-1)\leq 0$

Do $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên $a+b>c\Leftrightarrow c< \frac{1}{2}$

Vậy bđt cơ sở là đúng 

Tương tự $\frac{4}{1-a}-\frac{1}{a}\leq 18a-3$ và $\frac{4}{1-b}-\frac{1}{b}\leq 18b-3$

Cộng 3 bđt lại suy ra đpcm 

Điển hình của UTC :v

[duongduong352481980]

Untitled.png

Giải

$1)$ Theo định lí Pytago ta có

$OM^2=OA^2+AM^2=OH^2+MH^2$

$ON^2=OB^2+BN^2=OH^2+NH^2$

$\Rightarrow AM^2-BN^2=MH^2-NH^2$ (do $OA=OB$)

$\Leftrightarrow (AM-BN)(AM+BN)=(MH-NH)(MH+NH)\Leftrightarrow MN(AM-BN)=MN(MH-NH)$

$\Leftrightarrow AM-BN=MH-NH$

Lại có $AM+BN=MN=MH+NH$ nên dễ dàng suy ra đpcm

$2)$ Áp dụng định lí Pytago ta có

$OH^2=OM^2-MH^2=OM^2-AM^2=OA^2=OB^2$$\Leftrightarrow OH=OA=OB=\frac{1}{2}AB$

$\Rightarrow \Delta AHB$ vuông tại $H$

Mà $A,B$ cố định $\Rightarrow H \in (O;OA)$ cố định 

Câu 2 giải sai rồi nhé!

[kimuyenle85]

giải dùm mình bài 4, 6, 10 của đề này với

Hình gửi kèm

• 

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Ai giải chi tiết giúp mình câu 1 đk không. Mình tìm ra a nhưng lẻ quá sợ sai.

[vutuanhien]

Ai giải chi tiết giúp mình câu 1 đk không. Mình tìm ra a nhưng lẻ quá sợ sai.

Nếu ra đáp số lẻ là sai, vì bài này mình nhớ đáp số ra rất đẹp, là $\dfrac{1}{27}$ thì phải

[donbau]

6.jpg

minh có cách khác 

dieu kien $-1\leq x\leq 7/2$

do vậy -(2x-7) $\geq$ 0 va x+1 $\geq 0$

như vậy $2\sqrt{-2x^2+5x+7}=2\sqrt{-(2x-7)(x+1)} \leq -(2x-7)+(x+1)$ theo BDT cosi

ta sẽ chứng minh VP$\geq$VT

ta chung minh x^3 -3x^2-x+12 $\geq$ -(2x-7) + (x+1) $\Leftrightarrow$ (x+1)(x-2)^2 $\geq$0 do x thuộc đoạn -1 đến 7/2

dấu bằng xảy ra khi -(2x-7)=x-1 và x-2=0 hoặc x+1=0 suy ra x=2

vậy PT có nghiệm duy nhất x=2

[ngominh7s5]

Bài 1 làm như thế nào vậy?