Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2015-2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{12 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{}}$

Đã gửi 02-10-2015 - 19:17

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

Ngày thi : 02/10/2015

Thời gian làm bài : 180 phút

( Đề thi gồm 01 trang )

 

Bài I: (3,0 điểm)

Cho hàm số $y=x^{3}+3x^{2}$, có đồ thị ($C$). Tìm trên trục hoành các điểm mà từ đó kẻ được đến đồ thị ($C$) ba tiếp tuyến phân biệt, trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

 

Bài II: (5,0 điểm)

1) Giải phương trình $2\sqrt{-2x^{2}+5x+7}=x^{3}-3x^{2}-x+12$
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^{3}+xy^{2}=y^{6}+y^{4} \\ 3\sqrt{7+2x^{2}}+\sqrt{3-2y^{4}}=10 \end{matrix}\right.$
 

Bài III: (3,0 điểm)

Cho $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng $1$ . Chứng minh 
$4.\sum \frac{1}{a+b} \leq (\sum \frac{1}{a})+9$

 

Bài IV: (5,0 điểm)

Cho hai tia $Ax;By$ chéo nhau, có $AB$ là đoạn vuông góc chung. Điểm $M$ di động trên tia $Ax$ ($M$ khác $A$), điểm $N$ di động trên tia $By$ ($N$ khác $B$) sao cho $AM+BN=MN$. Gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $MN$ .
1) Chứng minh $HM=AM$ và $HN=BN$
2) Chứng minh $H$ thuộc một đường tròn cố định.
 

Bài V: (4,0 điểm)

Cho dãy số ($x_{n}$) xác định bởi $\left\{\begin{matrix}x_1=1 \\ x_{n+1}=x_n^{2016}+x_n,n=1,2,... \end{matrix}\right.$
Xét dãy số ($y_n$) với $y_n=\frac{x_1^{2015}}{x_2}+\frac{x_2^{2015}}{x_3}+....+\frac{x_n^{2015}}{x_n+1},n=1,2,...$
1) Chứng minh $y_n=1-\frac{1}{x_{n+1}}$
2) Tìm $lim$ $y_n$
 
--------------------Hết--------------------
 


#2 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 02-10-2015 - 19:33

 

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

Ngày thi : 02/10/2015

Thời gian làm bài : 180 phút

( Đề thi gồm 01 trang )

 

Bài II: (5,0 điểm)

1) Giải phương trình $2\sqrt{-2x^{2}+5x+7}=x^{3}-3x^{2}-x+12$
 
 
--------------------Hết--------------------

 

6.jpg



#3 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 02-10-2015 - 19:37

 

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

Ngày thi : 02/10/2015

Thời gian làm bài : 180 phút

( Đề thi gồm 01 trang )

 

 

 

Bài III: (3,0 điểm)

Cho $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng $1$ . Chứng minh 
$4.\sum \frac{1}{a+b} \leq (\sum \frac{1}{a})+9$

 

 

 
--------------------Hết--------------------

 

7.jpg



#4 hoangson2598

hoangson2598

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kinh Môn - Hải Dương
  • Sở thích:học toán và chơi thể thao
    →♡Math♡←

Đã gửi 02-10-2015 - 19:44

 

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

Ngày thi : 02/10/2015

Thời gian làm bài : 180 phút

( Đề thi gồm 01 trang )

 

 

2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^{3}+xy^{2}=y^{6}+y^{4} \\ 3\sqrt{7+2x^{2}}+\sqrt{3-2y^{4}}=10 \end{matrix}\right.$
 

 

Câu hệ:

Phương trình bên trên

Xét y=0 thì hệ vô nghiệm

Xét y khác 0. Chia hai vế cho $y^3$

Xuất hiện hàm đặc trưng. Suy ra $\frac{x}{y}=y\Leftrightarrow x=y^2$

Thế vào pt 2

$3\sqrt{7+2x^2}+\sqrt{3-2x^2}$

Đặt $\sqrt{7+2x^2}=a$ $\sqrt{3-2x^2}=b$ 

Suy ra 3a+b=10 và $a^2+b^2=10$ đến đây thì thế từ pt 1 vào pt 2 sẽ ra pt bậc 2


                  :like  :like  :like  :like  :like  Thằng đần nào cũng có thể biết. Vấn đề là phải hiểu.    :like  :like  :like  :like  :like 

                                                                    

                                                                       Albert Einstein

 

                                        :icon6: My Facebookhttps://www.facebook...100009463246438  :icon6:


#5 hoangson2598

hoangson2598

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kinh Môn - Hải Dương
  • Sở thích:học toán và chơi thể thao
    →♡Math♡←

Đã gửi 02-10-2015 - 19:53

 

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

Ngày thi : 02/10/2015

Thời gian làm bài : 180 phút

( Đề thi gồm 01 trang )

 

 

 
 

Bài V: (4,0 điểm)

Cho dãy số ($x_{n}$) xác định bởi $\left\{\begin{matrix}x_1=1 \\ x_{n+1}=x_n^{2016}+x_n,n=1,2,... \end{matrix}\right.$
Xét dãy số ($y_n$) với $y_n=\frac{x_1^{2015}}{x_2}+\frac{x_2^{2015}}{x_3}+....+\frac{x_n^{2015}}{x_n+1},n=1,2,...$
1) Chứng minh $y_n=1-\frac{1}{x_{n+1}}$
2) Tìm $lim$ $y_n$
 
--------------------Hết--------------------

 

Câu dãy:

a, $x_{n+1}=x_{n}^{2016}+x_{n}\Leftrightarrow \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=x_{n}^{2015}+1\Leftrightarrow \frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{x_{n}^{2015}}{x_{n+1}}$

Tương tự rồi cộng vào, suy ra $y_n=1-\frac{1}{x_{n+1}}$

b, Ta có $x_{n+1}-x_{n}=x_{n}^{2016}>0$ Suy ra dãy là dãy tăng. Suy ra khi n tiến tới vô cùng thì $x_{n+1}$ tiến tới vô cùng
Suy ra  Lim y=1-0=1
P/s: Ai vẽ hộ mình cái câu hình cái! :) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangson2598: 02-10-2015 - 20:09

                  :like  :like  :like  :like  :like  Thằng đần nào cũng có thể biết. Vấn đề là phải hiểu.    :like  :like  :like  :like  :like 

                                                                    

                                                                       Albert Einstein

 

                                        :icon6: My Facebookhttps://www.facebook...100009463246438  :icon6:


#6 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 03-10-2015 - 15:25

 

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

Ngày thi : 02/10/2015

Thời gian làm bài : 180 phút

( Đề thi gồm 01 trang )

 

 

 

Bài IV: (5,0 điểm)

Cho hai tia $Ax;By$ chéo nhau, có $AB$ là đoạn vuông góc chung. Điểm $M$ di động trên tia $Ax$ ($M$ khác $A$), điểm $N$ di động trên tia $By$ ($N$ khác $B$) sao cho $AM+BN=MN$. Gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $MN$ .
1) Chứng minh $HM=AM$ và $HN=BN$
2) Chứng minh $H$ thuộc một đường tròn cố định.
 

 

 
--------------------Hết--------------------

 

Untitled.png

Giải

$1)$ Theo định lí Pytago ta có

$OM^2=OA^2+AM^2=OH^2+MH^2$

$ON^2=OB^2+BN^2=OH^2+NH^2$

$\Rightarrow AM^2-BN^2=MH^2-NH^2$ (do $OA=OB$)

$\Leftrightarrow (AM-BN)(AM+BN)=(MH-NH)(MH+NH)\Leftrightarrow MN(AM-BN)=MN(MH-NH)$

$\Leftrightarrow AM-BN=MH-NH$

Lại có $AM+BN=MN=MH+NH$ nên dễ dàng suy ra đpcm

$2)$ Áp dụng định lí Pytago ta có

$OH^2=OM^2-MH^2=OM^2-AM^2=OA^2=OB^2$$\Leftrightarrow OH=OA=OB=\frac{1}{2}AB$

$\Rightarrow \Delta AHB$ vuông tại $H$

Mà $A,B$ cố định $\Rightarrow H \in (O;OA)$ cố định 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 03-10-2015 - 22:25

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#7 duaconcuachua98

duaconcuachua98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Stamford Bridge

Đã gửi 03-10-2015 - 20:57

 

 

Bài III: (3,0 điểm)

Cho $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng $1$ . Chứng minh 
$4.\sum \frac{1}{a+b} \leq (\sum \frac{1}{a})+9$

 

Cách khác: BĐT tương đương $\sum \frac{4}{1-c}\leq \sum \frac{1}{c}+9$

Ta chứng minh: $\frac{4}{1-c}-\frac{1}{c}\leq 18c-3$ $(1)$

Thật vậy: $(1)\Leftrightarrow 5c-1\leq -18c^{3}+21c^{2}-3c\Leftrightarrow 18c^{3}-21c^{2}+8c-1\leq 0\Leftrightarrow \left ( 3c-1 \right )^{2}(2c-1)\leq 0$

Do $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên $a+b>c\Leftrightarrow c< \frac{1}{2}$

Vậy bđt cơ sở là đúng 

Tương tự $\frac{4}{1-a}-\frac{1}{a}\leq 18a-3$ và $\frac{4}{1-b}-\frac{1}{b}\leq 18b-3$

Cộng 3 bđt lại suy ra đpcm 



#8 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-10-2015 - 11:49

Cách khác: BĐT tương đương $\sum \frac{4}{1-c}\leq \sum \frac{1}{c}+9$

Ta chứng minh: $\frac{4}{1-c}-\frac{1}{c}\leq 18c-3$ $(1)$

Thật vậy: $(1)\Leftrightarrow 5c-1\leq -18c^{3}+21c^{2}-3c\Leftrightarrow 18c^{3}-21c^{2}+8c-1\leq 0\Leftrightarrow \left ( 3c-1 \right )^{2}(2c-1)\leq 0$

Do $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên $a+b>c\Leftrightarrow c< \frac{1}{2}$

Vậy bđt cơ sở là đúng 

Tương tự $\frac{4}{1-a}-\frac{1}{a}\leq 18a-3$ và $\frac{4}{1-b}-\frac{1}{b}\leq 18b-3$

Cộng 3 bđt lại suy ra đpcm 

Điển hình của UTC :v



#9 duongduong352481980

duongduong352481980

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

Đã gửi 04-10-2015 - 20:45

attachicon.gifUntitled.png

Giải

$1)$ Theo định lí Pytago ta có

$OM^2=OA^2+AM^2=OH^2+MH^2$

$ON^2=OB^2+BN^2=OH^2+NH^2$

$\Rightarrow AM^2-BN^2=MH^2-NH^2$ (do $OA=OB$)

$\Leftrightarrow (AM-BN)(AM+BN)=(MH-NH)(MH+NH)\Leftrightarrow MN(AM-BN)=MN(MH-NH)$

$\Leftrightarrow AM-BN=MH-NH$

Lại có $AM+BN=MN=MH+NH$ nên dễ dàng suy ra đpcm

$2)$ Áp dụng định lí Pytago ta có

$OH^2=OM^2-MH^2=OM^2-AM^2=OA^2=OB^2$$\Leftrightarrow OH=OA=OB=\frac{1}{2}AB$

$\Rightarrow \Delta AHB$ vuông tại $H$

Mà $A,B$ cố định $\Rightarrow H \in (O;OA)$ cố định 

Câu 2 giải sai rồi nhé!



#10 kimuyenle85

kimuyenle85

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 07-03-2016 - 18:29

giải dùm mình bài 4, 6, 10 của đề này với

Hình gửi kèm

  • đà nẵng.PNG


#11 Issac Newton of Ngoc Tao

Issac Newton of Ngoc Tao

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KSTN_CNTT_K62_HUST
  • Sở thích:I AM A PERFECT PERSON

Đã gửi 10-08-2016 - 10:17

Ai giải chi tiết giúp mình câu 1 đk không. Mình tìm ra a nhưng lẻ quá sợ sai.


"Attitude is everything"


#12 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 10-08-2016 - 13:03

Ai giải chi tiết giúp mình câu 1 đk không. Mình tìm ra a nhưng lẻ quá sợ sai.

Nếu ra đáp số lẻ là sai, vì bài này mình nhớ đáp số ra rất đẹp, là $\dfrac{1}{27}$ thì phải


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#13 donbau

donbau

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:làm toán

Đã gửi 21-08-2016 - 09:00

minh có cách khác 

dieu kien $-1\leq x\leq 7/2$

do vậy -(2x-7) $\geq$ 0 va x+1 $\geq 0$

như vậy $2\sqrt{-2x^2+5x+7}=2\sqrt{-(2x-7)(x+1)} \leq -(2x-7)+(x+1)$ theo BDT cosi

ta sẽ chứng minh VP$\geq$VT

ta chung minh x^3 -3x^2-x+12 $\geq$ -(2x-7) + (x+1) $\Leftrightarrow$ (x+1)(x-2)^2 $\geq$0 do x thuộc đoạn -1 đến 7/2

dấu bằng xảy ra khi -(2x-7)=x-1 và x-2=0 hoặc x+1=0 suy ra x=2

vậy PT có nghiệm duy nhất x=2



#14 ngominh7s5

ngominh7s5

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 03-09-2016 - 21:48

Bài 1 làm như thế nào vậy?



#15 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 970 Bài viết

Đã gửi 17-02-2020 - 13:37

KHÔ






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh