Chủ đề này có 4 trả lời

[pdtienArsFC]

Chọn đội tuyển HSG quốc gia 2015-2016 Thanh Hóa ngày 1.

Nguồn: Facebook.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pdtienArsFC: 02-10-2015 - 22:26

[hoanglong2k]

 Câu 2 : 

 Giả sử $c=min \{a,b,c\}\geq 0$

 Khi đó :

 $+)~~~b^2-bc+c^2=b^2+c(c-b)\leq b^2$

 $+)~~~a^2-ac+c^2=a^2+c(c-a)\leq a^2$

 $+)~~~ab+bc+ca\geq ab$

 Suy ra chỉ cần chứng minh $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2-ab+b^2}\geq \frac{3}{ab}\Leftrightarrow \frac{(a-b)^4}{(ab)^2(a^2-ab+b^2)}\geq 0$

[longatk08]

 Câu 2 : 

 Giả sử $c=min \{a,b,c\}\geq 0$

 Khi đó :

 $+)~~~b^2-bc+c^2=b^2+c(c-b)\leq b^2$

 $+)~~~a^2-ac+c^2=a^2+c(c-a)\leq a^2$

 $+)~~~ab+bc+ca\geq ab$

 Suy ra chỉ cần chứng minh $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2-ab+b^2}\geq \frac{3}{ab}$

Có thể hoàn thiện bằng C-S thế này:

 

$BĐT \Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{a^2+b^2}{a^2-ab+b^2}\geq 4$

 

Mà                                                                          $\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2-ab+b^2}\geq \frac{4}{a^2+b^2}$

 

Spoiler

Hôm qua cũng gõ y nguyên thế này, bấm vào gửi bài thì diễn đàn lỗi y hôm trước... Quyết định buông xuôi =))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 03-10-2015 - 12:53

[quochung262]

Câu 1: Giả sử $\exists L=limu_{n}$, từ giả thiết, chuyển qua giới hạn, ta có 

                                                             $L=\frac{2}{1+L^{2}}$$\Leftrightarrow L=1$

Khi đó, ta có: $\left | u_{n+1}-1 \right |=\frac{(1-u_{n})^{2}}{1+u_{n}^{2}}\leq (1-u_{n})^{2}\leq ...\leq (1-u_{0})^{2^{n+1}}=(1-a)^{2^{n+1}}$

Để u(n) có ghhh thì $\left | 1-a \right |< 1\Leftrightarrow 0< a< 2$

Vậy $a\in (0;2)$ là các giá trị cần tìm

[Belphegor Varia]

Đang bận ôn thi không có thời gian latex câu hình, mình viết hướng giải vậy 

Tóm tắt 

a, 

 

Dễ dàng chứng minh được : Nếu gọi giao của $AC,DE$ là $J$ thì khi đó $IJ||BC$. Do đó ta gọi các giao điểm như hình vẽ

 

Xét 2 tam giác $LIF$ và $LDI$ có : $\angle LIF=\angle ACF(LI||AC)=\angle LDI$

$\Rightarrow \Delta LIF \sim LDI (g.g)$

$\Rightarrow LI^2=LD.LF$

$\Rightarrow $ $L$ nằm trên trục đẳng phương của $(O)$ và đường tròn điểm $I$ 

Tương tự với $K,M$ $\Rightarrow$ $K,L,M$ thẳng hàng và $KL$ vuông góc $OI$

 

b,

$\bullet $ Dễ chứng minh $DE$ vuông góc $CI$, $DF$ vuông góc $BI$ , $EF$ vuông góc $AI$

Suy ra $I$ là trực tâm tam giác $DEF$

$\Rightarrow ID.IX=IE.IY=IF.IZ$

Suy ra $I$ cùng phương tích với $3$ đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PDX,PEY,PFZ$

Suy ra $3$ đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PDX,PEY,PFZ$ có chung trục đẳng phương nên chúng cùng đi qua điểm $Q$ khác $P$

$\bullet $ Gọi đường tròn Euler của tam giác $DEF$ cắt $IF,IE$ tại $J,K$ khi đó $Q$ sẽ di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $IJK$ (hay nó là đường tròn đối xứng với đường tròn Euler tam giác $DEF$ qua $JK$ )

Dễ chứng minh $IB.IK=IY.IE=IP.IQ$ $\Rightarrow$ $BPKQ$ nội tiếp 

$\Rightarrow \angle KQI=\angle KPB=\angle EFC=\angle KJI$

$\Rightarrow QJIK $ nội tiếp $\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 06-10-2015 - 17:02