Chủ đề này có 2 trả lời

[Belphegor Varia]

Nguồn : Facebook Mai Xuân Việt

[Belphegor Varia]

Bài hình giống 1 bài toán cũ cách chứng minh tương tự : Cho tam giác $ABC$,lấy $B_1,C_1$ lần lượt là đối xứng của $B,C$ qua $AC,AB$. Chứng minh tâm của $(AB_1C_1)$,tâm đường tròn Euler của tam giác $ABC$ và điểm $A$ thẳng hàng 

[pdtienArsFC]

Nguồn : Facebook Mai Xuân Việt

Bài 3

Dễ thấy: $a;b$ lẻ và $(a;b)=1$

Đặt $a^3+b=2^x$; $b^3+a=2^y$

TH1:$a=b$. Dễ dàng suy ra $a=b=1$

TH2: Không mất tính tổng quát giả sử $a>b$ hay $x>y$

Ta có: $a=2^y-b^3$

           $a^3=(2^y-b)^3$

          $a^3+b=2^y.M -b^9+b$

Vì x>y nên $b^3+a|a^3+b$ hay $b^3+a|b^9-b$

                                            $b^3+a|b^8-1=(b^4+1)(b^2+1)(b^2-1)$

Vì $2||b^4+1; 2||b^2+1$ nên $b^3+a||4(b^2-1)$

Do đó: $4(b^2-1) \geq b^3+a \geq b^3$

Từ đó: $b=2;3$. Đến đây bài toàn đã coi như hoàn tất    .

ĐS: $(a;b)=(1;1),(3;5),(5;3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pdtienArsFC: 04-10-2015 - 08:54