Chủ đề này có 1 trả lời

[onepiecekizaru]

cho a,,b,c là 3 số ko âm tm a+b+c=1

CMR $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2}) \geq \frac{10^{3}}{9^{3}}$

[hoanglong2k]

cho a,,b,c là 3 số ko âm tm a+b+c=1

CMR $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2}) \geq \frac{10^{3}}{9^{3}}$

 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

$$(a^2+1)(b^2+1)=a^2b^2+a^2+b^2+1\geq a^2+b^2+\frac{2ab}{9}+\frac{80}{81}$$

$$=\frac{1}{9}\left [ 8(a^2+b^2)+(a+b)^2+\frac{80}{9} \right ]\geq \frac{1}{9}.\left [ 5(a+b)^2+\frac{80}{9} \right ]=\frac{1}{9}\left [ 5(1-c)^2+\frac{80}{9} \right ]$$

 Nên ta chỉ cần chứng minh :

$$\frac{1}{9}\left [ 5(1-c)^2+\frac{80}{9} \right ](c^2+1)\geq \frac{10^3}{9^3}\Leftrightarrow (3c-1)^2(9c^2-12c+25)\geq 0$$

 Bất đẳng thức trên luôn đúng nên có điều cần chứng minh

 Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$