Chủ đề này có 1 trả lời

[NguyenPhong410]

Mình xin nhờ các anh, chị, các bạn hướng dẫn hộ mình bài này.

Chứng minh dãy số ${\left\{ {{a_n}} \right\}_n}$ thỏa mãn $\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right| < {\left( {\frac{{2014}}{{2015}}} \right)^n},\forall n \in {N^*}$ là dãy Cauchy.

Mình xin cám ơn và chúc mọi người một đêm thật ngon giấc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 12-10-2015 - 10:08

[Mrnhan]

Mình xin nhờ các anh, chị, các bạn hướng dẫn hộ mình bài này.

Chứng minh dãy số ${\left\{ {{a_n}} \right\}_n}$ thỏa mãn $\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right| < {\left( {\frac{{2014}}{{2015}}} \right)^n},\forall n \in {N^*}$ là dãy Cauchy.

Mình xin cám ơn và chúc mọi người một đêm thật ngon giấc.

 

 

$\forall \epsilon >0 ,\,\forall q, p \in \mathbb{N},\, p>q> \left \lceil \frac{2015}{2014}\ln\frac{\epsilon }{2015} \right \rceil$, ta có

 

$$\left | a_p-a_q \right |\leq \left | a_p-a_{p-1} \right |+...+\left | a_{q+1}-a_q \right |<\left ( \frac{2014}{2015} \right )^{p-1}+...+\left ( \frac{2014}{2015} \right )^q $$

 

$$= \left ( \frac{2014}{2015} \right )^q\left [ \left ( \frac{2014}{2015} \right )^{p-q-1}+...+1 \right ]=\left ( \frac{2014}{2015} \right )^q \times \frac{1-\left ( \frac{2014}{2015} \right )^{p-q}}{1-\frac{2014}{2015}}<2015 \times \left ( \frac{2014}{2015} \right )^q$$

 

$$\Rightarrow \left | a_p-a_q \right |<2015 \times \left ( \frac{2014}{2015} \right )^q < \epsilon,\,\, \boxed{\text{đpcm}}$$