đề thi chọn hsg THPT lớp 12 năm 2015-2016 tỉnh Ninh Bình ngày 2 - ngày 7-10-2015
mới thi cách đây 1 tiếng 30 phút =))
đề thi chọn hsg THPT lớp 12 năm 2015-2016 tỉnh Ninh Bình ngày 2 - ngày 7-10-2015
mới thi cách đây 1 tiếng 30 phút =))
╬_╬ღ♣ღ♣ °•° ─»♥
cố trở thành sinh viên đại học
Câu 2 :
Gọi d = (16n+9 ; 9n + 16 )
$\rightarrow [ 16.(9n + 16) - 9.(16n + 9) ] \vdots d$
$\rightarrow 175=5.5.7 \vdots$ d
Lại có : (n-1) không chia hết cho 5 nên (9n+16) không chia hết cho 5
$\rightarrow$ 5 không chia hết cho d
$\rightarrow$ 7 chia hết cho d
Xét trường hợp 1 :
(n - 6) không chia hết cho 7
Khi đó (9n+16) không chia hết cho 7
$\rightarrow$ d=1
Khi đó để $\sqrt{(9n+16)/(16n+9)}$ là số hữu tỷ khi (9n + 16) và (16n+9) là số chính phương
giả sử: $9n + 16 = a^{2}$ và $16n + 9 = b^{2}$ với a,b là số nguyên dương
$\rightarrow 16a^{2} - 9b^{2} = 175$
$\rightarrow (4a-3b)(4a+3b) = 1.175 = 5.35 = 7.25$
$\rightarrow$ a = 29 và b= 22 $\rightarrow$ n=52 (thỏa mãn)
hoặc a = 5 và b= 5 $\rightarrow$ n=1 (loại)
hoặc a=4 và b=3 $\rightarrow$ n=0 ( loại )
Xét trường hợp 2:
(n-6) chia hết cho 7
khi đó (9n+16) và (16n+9) chia hết cho 7
$\rightarrow$ d=7
đặt n = 7k + 6
$\rightarrow \frac{9n+16}{16n+9} = \frac{9k+10}{16k +15}$
$\rightarrow$ $\sqrt{\frac{9n+16}{16n+9}}$ là số hữu tỷ khi (9k+10) và (16k + 15) là số chính phương
giải tương tự trường hợp trên $\rightarrow$ vô nghiệm
Vậy n = 52 là nghiệm duy nhất
Dinh Xuan Hung:Chú ý $\LaTeX$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 07-10-2015 - 20:38
Câu 1.
Đặt $ \displaystyle x=a-c \ ; \ y= b+d $.
Đầu tiên dùng Cauchy - Schwarz có
$$ 2 + 2\sqrt{2} \ge 2 \left( a^2+c^2 \right) + 2\left( b^2+d^2 \right) \ge \left( a-c \right)^2 + \left( b+d \right)^2$$
Hay là
$$ 1 \ge \frac{x^2+y^2}{2+2\sqrt{2}} $$
Lại theo Cauchy - Schwarz có
$$ 1+2b^2+2d^2 \ge 1 + \left( b+d \right)^2 $$
Hay $$ 1+2b^2+2d^2 \ge \frac{x^2+y^2}{2+2\sqrt{2}} + y^2 $$
Cần chứng minh
$$ \frac{x^2+y^2}{2+2\sqrt{2}} + y^2 \ge xy $$
Nhưng điều đó hiển nhiên đúng bởi
$$ \frac{x^2+y^2}{2+2\sqrt{2}} + y^2 - xy = \frac{\left( \sqrt{2} - 1 \right) \left( -x+y+y \sqrt{2} \right)^2}{2} \ge 0$$
Như vậy
$$ 1+2b^2+2d^2 \ge \frac{x^2+y^2}{2+2\sqrt{2}} + y^2 \ge xy = \left( a-c \right) \left( b+d \right) $$
Đó là điều cần chứng minh.
Câu 1: Cách của mình
Ta có: $(a-c)(b+c)\leq 2\sqrt{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}=2\sqrt{(\sqrt{2}-1)(a^{2}+c^{2})(\sqrt{2}+1)(b^{2}+d^{2})}\leq (\sqrt{2}-1)(a^{2}+c^{2})+(\sqrt{2}+1)(b^{2}+d^{2})=(\sqrt{2}-1)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})+2(b^{2}+d^{2})\leq (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)+2b^{2}+2d^{2}=1+2b^{2}+2d^{2}$
(đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quochung262: 07-10-2015 - 21:32
Câu hàm:
Thay y=0 vào pt đầu, ta đc: $f(f(x))=f(x)-f(0)+f(x)f(0)$ (1)
Đặt $x_{n}=f((...((x))...))$ (2n dấu ngoặc)
Thay x bởi xn vào (1), ta đc: $x_{n+1}=(a+1)x_{n}-a$ (với a=f(0))
$\Leftrightarrow x_{n+1}-1=(a+1)(x_{n}-1)=...=(a+1)^{n}(x_{1}-1)$
$\Rightarrow x_{n}=(a+1)^{n-1}(x_{1}-1)+1$$\Rightarrow x_{0}=(a+1)^{-1}(x_{1}-1)+1\Leftrightarrow \Leftrightarrow x=(a+1)^{-1}(f(x)-1)+1\Leftrightarrow f(x)=\frac{x+m-1}{m}$ (với $m=\frac{1}{a-1}$)
Thay vào (1), đồng nhất đc m=1
Vậy f(x)=x (thử lại thấy thỏa)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quochung262: 07-10-2015 - 21:47
Câu 2 :
Gọi d = (16n+9 ; 9n + 16 )
$\rightarrow [ 16.(9n + 16) - 9.(16n + 9) ] \vdots d$
$\rightarrow 175=5.5.7 \vdots$ d
Lại có : (n-1) không chia hết cho 5 nên (9n+16) không chia hết cho 5
$\rightarrow$ 5 không chia hết cho d
$\rightarrow$ 7 chia hết cho d
Xét trường hợp 1 :
(n - 6) không chia hết cho 7
Khi đó (9n+16) không chia hết cho 7
$\rightarrow$ d=1
Khi đó để $\sqrt{(9n+16)/(16n+9)}$ là số hữu tỷ khi (9n + 16) và (16n+9) là số chính phương
giả sử: $9n + 16 = a^{2}$ và $16n + 9 = b^{2}$ với a,b là số nguyên dương
$\rightarrow 16a^{2} - 9b^{2} = 175$
$\rightarrow (4a-3b)(4a+3b) = 1.175 = 5.35 = 7.25$
$\rightarrow$ a = 29 và b= 22 $\rightarrow$ n=52 (thỏa mãn)
hoặc a = 5 và b= 5 $\rightarrow$ n=1 (loại)
hoặc a=4 và b=3 $\rightarrow$ n=0 ( loại )
Xét trường hợp 2:
(n-6) chia hết cho 7
khi đó (9n+16) và (16n+9) chia hết cho 7
$\rightarrow$ d=7
đặt n = 7k + 6
$\rightarrow \frac{9n+16}{16n+9} = \frac{9k+10}{16k +15}$
$\rightarrow$ $\sqrt{\frac{9n+16}{16n+9}}$ là số hữu tỷ khi (9k+10) và (16k + 15) là số chính phương
giải tương tự trường hợp trên $\rightarrow$ vô nghiệm
Vậy n = 52 là nghiệm duy nhất
Dinh Xuan Hung:Chú ý $\LaTeX$
không có máy tính đó m ((
nhẩm hay vậy
╬_╬ღ♣ღ♣ °•° ─»♥
cố trở thành sinh viên đại học
Ngồi cùng phòng hỏi kết quả bạn ấy là 52 mà cứ nghĩ bạn ý làm sai chứ, ai ngờ là mình chủ quan ra thiếu nghiệm. Chúc mừng bạn Tú nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 08-10-2015 - 22:44
$ \textbf{NMQ}$
Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come
Just take off her or give me a ride
Give me one day or one hour or just one minute for a short word
Câu 4: $f(f(x-y)) = f(x) - f(y) + f(x).f(y) - xy$ (1)
Giả sử tồn tại hàm $f$ thỏa mãn đề bài
Xét $f$ hằng . Giả sử $f(x) = c$ với mọi x
thay $f(x) = c$ vào (1) ta được : $c = c^{2} -xy$ với mọi x,y thuộc R
$\rightarrow$ Vô lí $\rightarrow f$ khác hằng
Thay $x=y=0$ vào (1) ta được: $f(f(0)) = f(0)^{2}$
Thay y=x vào (1) ta được: $f(f(0)) = f(x)^{2} -x^{2}\rightarrow f(x)^{2} = x^{2} + f(0)^{2}$ với mọi x thuộc R (2) $\rightarrow f(x)^2 = f(-x)^2$ với mọi x thuộc R $\rightarrow f(x) = f(-x)$ hoặc $f(x) = -f(-x)$ với mọi x thuộc R Thay y=0 vào (1) ta được $f(f(x)) = f(x) - f(0) + f(x).f(0)$ với mọi x thuộc R (3) Thay x=0, y =-x vào (1) ta được $f(f(x))= f(0) - f(-x) +f(0).f(-x)$ với mọi x thuộc R (4) Từ (3) & (4) ta có: $f(x) + f(-x) + f(0). [ f(x)- f(-x)] = 2.f(0)$ với mọi x thuộc R (5) Xét trường hợp f(x) = f(-x) với mọi x thuộc R Thay vào (5) ta có f(x) = f(0) ( vô lí vì f khác hằng ) $\rightarrow f(x) = -f(-x)$ với mọi x thuộc R Thay f(x)=-f(-x) vào (5) ta được: $f(0).f(x)=f(0)$ $\rightarrow f(0) =0$ ( do f khác hằng ) Thay $f(0) = 0$ vào (2) ta được $f(x)^{2} = x^{2}$ $\rightarrow f(x) = x$ hoặc $f(x)=-x$ Giả sử tồn tại $x_0 # 0$ thỏa mãn $f(x_0)=-x_0$ Thay $x=x_0$ vào (3) ta được $f(f(x0))=f(x0)\rightarrow x_0 =0$ ( trái với điều giả sử ) $\rightarrow f(x) = x$ với mọi x thuộc R Thử lại vào (1) ta thấy thỏa mãn Vậy $f(x) = x$ với mọi x thuộc R là nghiệm duy nhất của phương trình hàm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 10-10-2015 - 15:46
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh