cho a,b,c >0 tm $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$
CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$
Bắt đầu bởi onepiecekizaru, 08-10-2015 - 20:20
#2
Đã gửi 09-10-2015 - 14:17
Nguyenhuyen_AG
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 945 Bài viết
Trung úy
cho a,b,c >0 tm $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có \[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} = \frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}.\] Ta cần chứng minh \[\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3} \geqslant \frac{9}{a+b+c}.\] Hiển nhiên đúng vì \[\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3} - \frac{9}{a+b+c} = \frac{[2(a+b+c)+3](a+b+c-3)^2}{[(a+b+c)^2-3](a+b+c)} \geqslant 0.\] Chứng minh hoàn tất.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 09-10-2015 - 14:17
- E. Galois, thuy99 và anhxtanh1879 thích
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport
Ho Chi Minh City University Of Transport
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
