Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

chọn đội tuyển trường chuyên Nguyễn Du-Đaklak 2015-2016(vòng 2)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 09-10-2015 - 18:37

ĐỀ THI CHỌN HỌC GIỎI LỚP 12-VÒNG 2

Bài 1 (3 điểm)

Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(m,n)$ để phương trình $x^3-17x^2+mx-n^2=0$ có ba nghiệm nguyên $($ có thể trùng nhau $)$

 

Bài 2 (3 điểm)

Tìm hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn các điều kiện sau $:$

$i)$    $f$ tăng trên $ \mathbb{N}^*$

$ii)$   $f(xy)=f(x)f(y)\ \ ;\forall x,y\in \mathbb{N}^*$

$iii)$   Nếu $x,y\in \mathbb{N}^*:x\neq y$ và $x^y=y^x\Rightarrow \left ( f(x)-y \right )\left ( f(y)-x \right )=0$

 

Bài 3 (3 điểm)

Cho dãy số $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=a>3\\x_{n+1}=x_n^2-2x_n\ \ ;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng dãy số $(y_n)$ với $y_n=\frac{(x_1-1)(x_2-1)...(x_n-1)}{x_{n+1}}\ \ ;\forall n\ge 1$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

 

Bài 4 (4 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ và ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$.$K$ là một điểm tùy ý trên $BC$ $(K\neq B,C,D)$,gọi $I=\left ( BFK \right )\cap \left ( CEK \right )$

$a)$ Chứng minh rằng $IH\perp AK$

$b)$ Xác định vị trí điểm $K$ để $EF,IH,BC$ đồng quy

 

Bài 5 (3 điểm)

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x,y,z)$ của phương trình

$\left | 2^x-y^z \right |=1$

 

Bài 6 (4 điểm)

Cho tập hợp $\mathcal{X}=\left \{ \overline{a_6a_5a_4a_3a_2a_1}\mid 9\ge a_6\ge a_5\ge a_4\ge a_3\ge a_2\ge a_1,a_6\neq 0,a_i\in \mathbb{N},(i=\overline{1,6})\right \}$

$a)$ Tập hợp $\left | \mathcal{X} \right |$ có bao nhiêu phần tử $?$

$b)$ Nếu viết tất cả các số của $\mathcal{X}$ thành một dãy tăng.Tính số hạng thứ $2015$ của dãy đó


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 09-10-2015 - 18:43

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#2 Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Ninh Binh
  • Sở thích:Number theory , Geometry

Đã gửi 09-10-2015 - 19:44

Câu 4 : 

a, Dễ thấy $A,I,K$ thẳng hàng do cùng nằm trên trục đẳng phương của $(BFIK)$ và $(CEIK)$ 

Lại có $AI.AK=AF.AB=AH.AD$ nên $HIKD$ nội tiếp. Do đó ta được $AK$ vuông góc $IH$. 

b, Ta có $\angle EFH=\angle EBC=90^o-\angle ECK=90^o-\angle AIE=180^o-\angle EIH$

Suy ra $EFHI$ nội tiếp

$BC,IH,EF$ đồng quy 

$\Leftrightarrow DK,IH,EF$ đồng quy 

$\Leftrightarrow EFDK$ nội tiếp 

$\Leftrightarrow $ $K$ là giao điểm của đường tròn Euler tam giác $ABC$ và cạnh $BC$ hay $K$ là trung điểm $BC$ $(Q.E.D)$


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#3 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 09-10-2015 - 21:27

Bài 6 (4 điểm)

Cho tập hợp $\mathcal{X}=\left \{ \overline{a_6a_5a_4a_3a_2a_1}\mid 9\ge a_6\ge a_5\ge a_4\ge a_3\ge a_2\ge a_1,a_6\neq 0,a_i\in \mathbb{N},(i=\overline{1,6})\right \}$

$a)$ Tập hợp $\left | \mathcal{X} \right |$ có bao nhiêu phần tử $?$

$b)$ Nếu viết tất cả các số của $\mathcal{X}$ thành một dãy tăng.Tính số hạng thứ $2015$ của dãy đó

a)Bổ đề: Số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình:
$\sum_{i=1}^{k}x_{i}\leq m$ là $\binom{m+k}{k}$

Trở lại bài toán:

Đặt $a_{i}=\sum_{k=1}^{i}x_{k}$. Ta có:$x_{i}\geq0, \forall i$ và $\sum_{i=1}^{6}x_{i}\leq 9, (1)$

Nếu $a_{6}=0$ thì $a_{6}=a_{5}=a_{4}=a_{3}=a_{2}=a_{1}=0$

Đặt số nghiệm nguyên không âm của $(1)$ là $S$ thì ta có $|X|=S-1$

Áp dụng bổ đề, ta có: $|X|=\binom{9+6}{6}-1=5004$

 

b) Đặt  $T_{i}$ là số các số thuộc $X$ mà $a_{6}=i, i=1,2,..,9$
Khi đó $T_{i}$ là số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình $\sum_{k=1}^{5}x_{k}\leq i$

Áp dụng bổ đề, suy ra: $T_{i}=\binom{i+5}{5}$

Ta có: $\sum_{i=1}^{7}T_{i}=1715 < 2015 < \sum_{i=1}^{8}T_{i}=3002 \Rightarrow a_{6}=8$

$2015-1715=300$
Tương tự, đặt $K_{i}$ là số các số thuộc $X$ mà $a_{6}=8, a_{5}=i, i=0,1,2,..,9$

Áp dụng bổ đề, suy ra: $K_{i}=\binom{i+4}{4}$

Ta có: $\sum_{i=0}^{5}K_{i}=252 < 300 < \sum_{i=0}^{6}K_{i}=462 \Rightarrow a_{5}=6$

$300-252=48$

Đặt $L_{i}$ là số các số thuộc $X$ mà $a_{6}=8, a_{5}=6, a_{4}=i, i=0,1,2,..,9$

Áp dụng bổ đề, ta có: $L_{i}=\binom{i+3}{3}$

Ta có: $\sum_{i=0}^{3}L_{i}=35 < 48 < \sum_{i=0}^{4}L_{i}=70 \Rightarrow a_{4}=4$

Suy ra, số hạng thứ $1715+252+35+1=2003$ là $864000$

Suy ra, số hạng thứ $2015$ là $864320$


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#4 Longtunhientoan2k

Longtunhientoan2k

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT OLM
  • Sở thích:Làm toán,đọc sách văn,thơ.THÍCH NGỒI NGHE KỂ CHUYỆN VỀ NGƯỜI NGOÀI HÀNH TINH.Thích câu lọc bộ chelsea của anh.

Đã gửi 09-10-2015 - 22:25

 Nếu y=1 ta có được bộ ba (1,1,n)

 Nếu z=1 thì ta có bộ ba nghiệm số:$(n,2^{n}-1,1),(n,2^{n}+1,1)$

 Nếu x=1 thì ta quay trở lại trường hợp của y

 Nếu x,y,z>0 theo  định lí của Mihăilescu thì ta chỉ tìm được duy nhất một bộ ba số là (3;3;2)


         LONG VMF NQ MSP 


#5 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-10-2015 - 22:40

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC GIỎI LỚP 12-VÒNG 2

Bài 1 (3 điểm)

Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(m,n)$ để phương trình $x^3-17x^2+mx-n^2=0$ có ba nghiệm nguyên $($ có thể trùng nhau $)$

 

Bài 2 (3 điểm)

Tìm hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn các điều kiện sau $:$

$i)$    $f$ tăng trên $ \mathbb{N}^*$

$ii)$   $f(xy)=f(x)f(y)\ \ ;\forall x,y\in \mathbb{N}^*$

$iii)$   Nếu $x,y\in \mathbb{N}^*:x\neq y$ và $x^y=y^x\Rightarrow \left ( f(x)-y \right )\left ( f(y)-x \right )=0$

 

Bài 3 (3 điểm)

Cho dãy số $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=a>3\\x_{n+1}=x_n^2-2x_n\ \ ;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng dãy số $(y_n)$ với $y_n=\frac{(x_1-1)(x_2-1)...(x_n-1)}{x_{n+1}}\ \ ;\forall n\ge 1$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

 

Bài 4 (4 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ và ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$.$K$ là một điểm tùy ý trên $BC$ $(K\neq B,C,D)$,gọi $I=\left ( BFK \right )\cap \left ( CEK \right )$

$a)$ Chứng minh rằng $IH\perp AK$

$b)$ Xác định vị trí điểm $K$ để $EF,IH,BC$ đồng quy

 

Bài 5 (3 điểm)

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x,y,z)$ của phương trình

$\left | 2^x-y^z \right |=1$

 

Bài 6 (4 điểm)

Cho tập hợp $\mathcal{X}=\left \{ \overline{a_6a_5a_4a_3a_2a_1}\mid 9\ge a_6\ge a_5\ge a_4\ge a_3\ge a_2\ge a_1,a_6\neq 0,a_i\in \mathbb{N},(i=\overline{1,6})\right \}$

$a)$ Tập hợp $\left | \mathcal{X} \right |$ có bao nhiêu phần tử $?$

$b)$ Nếu viết tất cả các số của $\mathcal{X}$ thành một dãy tăng.Tính số hạng thứ $2015$ của dãy đó

 

Câu hàm :v

Thay $x=1$ ta được $f(1)=1$ do $f(1)$>0

Từ iii) ta có $2^4$=$4^2$ Suy ra $f(2)=4$ hoặc $f(4)=2$

TH1: $f(4)=2$. Suy ra $f(2)=2$ hoặc $f(2)=1$

Mà $f(2)=1$ thì $f(4)=f(2).f(2)=1$ nên vô lý

Suy ra $f(2)=2$ => $f(3)=2$=>$f(6)=4$; $f(9)=4$

Ta cũng có $f(16)=4$ Suy ra $f(12)=4$. Vô lý

Vậy trường hợp 1 không xảy ra

TH2: $f(2)=4$. Có lẽ chứng minh quy nạp $f(n)$=$n^2$

Mình còn chỗ n+1 nguyên tố thì không suy ra được. 

Thánh nào vô giúp :v

Mình nói thêm là chỗ iii. Chỉ có duy nhất bộ (2;4) là thỏa thôi nên quy nạp chỉ cần cho câu ii là đủ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 09-10-2015 - 22:43


#6 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 09-10-2015 - 22:40

Bài 5 (3 điểm)

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x,y,z)$ của phương trình

$\left | 2^x-y^z \right |=1$

Từ giả thiết ta có: $2^{x}=y^z+1$ hoặc $2^x=y^z-1$. Dễ thấy $y$ lẻ
TH1:  $2^{x}=y^z+1$

Nếu $x=1 \Rightarrow y=1,z=1$

Nếu $y=1 \Rightarrow x=1, z\in\mathbb{N}^{*}$

Nếu $z=1 \Rightarrow y=2^x-1, x\in\mathbb{N}^{*}$

Xét $x>1,y>1,z>1$

Nếu đặt $z=2^{a}t$, $t$ lẻ, $a>0,t>0$, ta có:

$2^{x}=(y^{2^{a}}+1)[(y^{2^{a}})^{t-1}-(y^{2^{a}})^{t-2}+...-y^{2^{a}}+1]$
Giả sử $t>1$, do $y^{2^{a}}$ và $t$ lẻ, lớn hơn $1$ nên $(y^{2^{a}})^{t-1}-(y^{2^{a}})^{t-2}+...-y^{2^{a}}+1$ lẻ và lớn hơn $1$, suy ra phương trình vô nghiệm. Do đó $t=1$.

Suy ra $2^{x}=y^{2^{a}}+1 \Leftrightarrow 2^{x}=(y^{2^{a-1}})^{2}+1$

Dễ thấy phương trình vô nghiệm.

TH2: $2^{x}=y^z-1$. Dễ thấy $y>1$

Nếu $x=1 \Rightarrow y=3, z=1$

Nếu $z=1 \Rightarrow y=2^{x}+1, x\in\mathbb{N}^{*}$

Xét $x>1,y>1,z>1$

Chứng minh tương tự suy ra: $z=2^{b}, b\geq1$

Đặt $y^{2^{b-1}}=c,c>1$, ta có: $2^{x}=(c+1)(c-1)$

Đặt $c+1=2^{e}, c-1=2^{f}, e>f>0$

Suy ra $2^{e-1}-2^{f-1}=1$, suy ra: $f<2$

Nếu $f=0 \Rightarrow 2^{x}=3$

Nếu $f=1 \Rightarrow x=3,y=3,z=2$

Vậy, phương trình có các nghiệm $(3,3,2),(k,2^k+1,1),(n,2^n-1,1),(1,1,l)$ với $\forall k\geq1,n\geq1, l>1$


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#7 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-10-2015 - 23:02

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC GIỎI LỚP 12-VÒNG 2

Bài 1 (3 điểm)

Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(m,n)$ để phương trình $x^3-17x^2+mx-n^2=0$ có ba nghiệm nguyên $($ có thể trùng nhau $)$

 

Bài 2 (3 điểm)

Tìm hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn các điều kiện sau $:$

$i)$    $f$ tăng trên $ \mathbb{N}^*$

$ii)$   $f(xy)=f(x)f(y)\ \ ;\forall x,y\in \mathbb{N}^*$

$iii)$   Nếu $x,y\in \mathbb{N}^*:x\neq y$ và $x^y=y^x\Rightarrow \left ( f(x)-y \right )\left ( f(y)-x \right )=0$

 

Bài 3 (3 điểm)

Cho dãy số $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=a>3\\x_{n+1}=x_n^2-2x_n\ \ ;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng dãy số $(y_n)$ với $y_n=\frac{(x_1-1)(x_2-1)...(x_n-1)}{x_{n+1}}\ \ ;\forall n\ge 1$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

 

Bài 4 (4 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ và ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$.$K$ là một điểm tùy ý trên $BC$ $(K\neq B,C,D)$,gọi $I=\left ( BFK \right )\cap \left ( CEK \right )$

$a)$ Chứng minh rằng $IH\perp AK$

$b)$ Xác định vị trí điểm $K$ để $EF,IH,BC$ đồng quy

 

Bài 5 (3 điểm)

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x,y,z)$ của phương trình

$\left | 2^x-y^z \right |=1$

 

Bài 6 (4 điểm)

Cho tập hợp $\mathcal{X}=\left \{ \overline{a_6a_5a_4a_3a_2a_1}\mid 9\ge a_6\ge a_5\ge a_4\ge a_3\ge a_2\ge a_1,a_6\neq 0,a_i\in \mathbb{N},(i=\overline{1,6})\right \}$

$a)$ Tập hợp $\left | \mathcal{X} \right |$ có bao nhiêu phần tử $?$

$b)$ Nếu viết tất cả các số của $\mathcal{X}$ thành một dãy tăng.Tính số hạng thứ $2015$ của dãy đó

 

Bài 5 làm khá đơn giản. 

Dễ thấy y lẻ

TH1: $2^x=y^z+1$

    Giả sử z chẵn, ta luôn đưa được về $2^x=y^z+1$ với y,z đều lẻ. y,z này khác y,z đầu

    Do đó, áp dụng bổ đề về số mũ đúng, suy ra x=v2(y+1), do đó y+1>=$2^x$. Suy ra $y>=y^z$, 

TH2: áp dụng bổ đồ về số mũ đúng, ta được x=v2(y+1), Suy ra $y>=y^z$,

Cả 2 trường hợp, dấu bằng đều xảy ra, do đó $y=2^k+1$ hoặc $y=2^k-1$, Từ đó làm dễ rồi 



#8 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 14-10-2015 - 00:17

Câu hàm :v
Thay $x=1$ ta được $f(1)=1$ do $f(1)$>0
Từ iii) ta có $2^4$=$4^2$ Suy ra $f(2)=4$ hoặc $f(4)=2$
TH1: $f(4)=2$. Suy ra $f(2)=2$ hoặc $f(2)=1$
Mà $f(2)=1$ thì $f(4)=f(2).f(2)=1$ nên vô lý
Suy ra $f(2)=2$ => $f(3)=2$=>$f(6)=4$; $f(9)=4$
Ta cũng có $f(16)=4$ Suy ra $f(12)=4$. Vô lý
Vậy trường hợp 1 không xảy ra
TH2: $f(2)=4$. Có lẽ chứng minh quy nạp $f(n)$=$n^2$
Mình còn chỗ n+1 nguyên tố thì không suy ra được.
Thánh nào vô giúp :v
Mình nói thêm là chỗ iii. Chỉ có duy nhất bộ (2;4) là thỏa thôi nên quy nạp chỉ cần cho câu ii là đủ


có lẽ quy nạp ? Bài này dùng kẹp khá hay , hướng quy nạp không khả thi lắm

#9 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 14-10-2015 - 00:20

http://diendantoanho...-n/#entry573058

#10 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 14-10-2015 - 01:00

Bài dãy số có vẻ sai đề chắc phải là (x1+1)(x2+1).....(xn+1)/(x_(n+1)) chứ nhỉ

#11 superfrankie98

superfrankie98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 15-10-2015 - 21:45

Câu hàm :v

Thay $x=1$ ta được $f(1)=1$ do $f(1)$>0

Từ iii) ta có $2^4$=$4^2$ Suy ra $f(2)=4$ hoặc $f(4)=2$

TH1: $f(4)=2$. Suy ra $f(2)=2$ hoặc $f(2)=1$

Mà $f(2)=1$ thì $f(4)=f(2).f(2)=1$ nên vô lý

Suy ra $f(2)=2$ => $f(3)=2$=>$f(6)=4$; $f(9)=4$

Ta cũng có $f(16)=4$ Suy ra $f(12)=4$. Vô lý

Vậy trường hợp 1 không xảy ra

TH2: $f(2)=4$. Có lẽ chứng minh quy nạp $f(n)$=$n^2$

Mình còn chỗ n+1 nguyên tố thì không suy ra được. 

Thánh nào vô giúp :v

Mình nói thêm là chỗ iii. Chỉ có duy nhất bộ (2;4) là thỏa thôi nên quy nạp chỉ cần cho câu ii là đủ

theo mình từ đk i và ii suy ra f nhân tính 

khi đó f(x) = xa

thay x=4 y=2 vào iii suy ra a=2

làm vậy ko biết đã chặt chẽ chưa nữa  :mellow:






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh