ĐỀ THI CHỌN HỌC GIỎI LỚP 12-VÒNG 2
Bài 1 (3 điểm)
Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(m,n)$ để phương trình $x^3-17x^2+mx-n^2=0$ có ba nghiệm nguyên $($ có thể trùng nhau $)$
Bài 2 (3 điểm)
Tìm hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn các điều kiện sau $:$
$i)$ $f$ tăng trên $ \mathbb{N}^*$
$ii)$ $f(xy)=f(x)f(y)\ \ ;\forall x,y\in \mathbb{N}^*$
$iii)$ Nếu $x,y\in \mathbb{N}^*:x\neq y$ và $x^y=y^x\Rightarrow \left ( f(x)-y \right )\left ( f(y)-x \right )=0$
Bài 3 (3 điểm)
Cho dãy số $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=a>3\\x_{n+1}=x_n^2-2x_n\ \ ;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$.
Chứng minh rằng dãy số $(y_n)$ với $y_n=\frac{(x_1-1)(x_2-1)...(x_n-1)}{x_{n+1}}\ \ ;\forall n\ge 1$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Bài 4 (4 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ và ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$.$K$ là một điểm tùy ý trên $BC$ $(K\neq B,C,D)$,gọi $I=\left ( BFK \right )\cap \left ( CEK \right )$
$a)$ Chứng minh rằng $IH\perp AK$
$b)$ Xác định vị trí điểm $K$ để $EF,IH,BC$ đồng quy
Bài 5 (3 điểm)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x,y,z)$ của phương trình
$\left | 2^x-y^z \right |=1$
Bài 6 (4 điểm)
Cho tập hợp $\mathcal{X}=\left \{ \overline{a_6a_5a_4a_3a_2a_1}\mid 9\ge a_6\ge a_5\ge a_4\ge a_3\ge a_2\ge a_1,a_6\neq 0,a_i\in \mathbb{N},(i=\overline{1,6})\right \}$
$a)$ Tập hợp $\left | \mathcal{X} \right |$ có bao nhiêu phần tử $?$
$b)$ Nếu viết tất cả các số của $\mathcal{X}$ thành một dãy tăng.Tính số hạng thứ $2015$ của dãy đó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 09-10-2015 - 18:43