Đến nội dung

Hình ảnh

chọn đội tuyển trường chuyên Nguyễn Du-Đaklak 2015-2016(vòng 2)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

ĐỀ THI CHỌN HỌC GIỎI LỚP 12-VÒNG 2

Bài 1 (3 điểm)

Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(m,n)$ để phương trình $x^3-17x^2+mx-n^2=0$ có ba nghiệm nguyên $($ có thể trùng nhau $)$

 

Bài 2 (3 điểm)

Tìm hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn các điều kiện sau $:$

$i)$    $f$ tăng trên $ \mathbb{N}^*$

$ii)$   $f(xy)=f(x)f(y)\ \ ;\forall x,y\in \mathbb{N}^*$

$iii)$   Nếu $x,y\in \mathbb{N}^*:x\neq y$ và $x^y=y^x\Rightarrow \left ( f(x)-y \right )\left ( f(y)-x \right )=0$

 

Bài 3 (3 điểm)

Cho dãy số $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=a>3\\x_{n+1}=x_n^2-2x_n\ \ ;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng dãy số $(y_n)$ với $y_n=\frac{(x_1-1)(x_2-1)...(x_n-1)}{x_{n+1}}\ \ ;\forall n\ge 1$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

 

Bài 4 (4 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ và ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$.$K$ là một điểm tùy ý trên $BC$ $(K\neq B,C,D)$,gọi $I=\left ( BFK \right )\cap \left ( CEK \right )$

$a)$ Chứng minh rằng $IH\perp AK$

$b)$ Xác định vị trí điểm $K$ để $EF,IH,BC$ đồng quy

 

Bài 5 (3 điểm)

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x,y,z)$ của phương trình

$\left | 2^x-y^z \right |=1$

 

Bài 6 (4 điểm)

Cho tập hợp $\mathcal{X}=\left \{ \overline{a_6a_5a_4a_3a_2a_1}\mid 9\ge a_6\ge a_5\ge a_4\ge a_3\ge a_2\ge a_1,a_6\neq 0,a_i\in \mathbb{N},(i=\overline{1,6})\right \}$

$a)$ Tập hợp $\left | \mathcal{X} \right |$ có bao nhiêu phần tử $?$

$b)$ Nếu viết tất cả các số của $\mathcal{X}$ thành một dãy tăng.Tính số hạng thứ $2015$ của dãy đó


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 09-10-2015 - 18:43

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#2
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Câu 4 : 

a, Dễ thấy $A,I,K$ thẳng hàng do cùng nằm trên trục đẳng phương của $(BFIK)$ và $(CEIK)$ 

Lại có $AI.AK=AF.AB=AH.AD$ nên $HIKD$ nội tiếp. Do đó ta được $AK$ vuông góc $IH$. 

b, Ta có $\angle EFH=\angle EBC=90^o-\angle ECK=90^o-\angle AIE=180^o-\angle EIH$

Suy ra $EFHI$ nội tiếp

$BC,IH,EF$ đồng quy 

$\Leftrightarrow DK,IH,EF$ đồng quy 

$\Leftrightarrow EFDK$ nội tiếp 

$\Leftrightarrow $ $K$ là giao điểm của đường tròn Euler tam giác $ABC$ và cạnh $BC$ hay $K$ là trung điểm $BC$ $(Q.E.D)$


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#3
chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết

Bài 6 (4 điểm)

Cho tập hợp $\mathcal{X}=\left \{ \overline{a_6a_5a_4a_3a_2a_1}\mid 9\ge a_6\ge a_5\ge a_4\ge a_3\ge a_2\ge a_1,a_6\neq 0,a_i\in \mathbb{N},(i=\overline{1,6})\right \}$

$a)$ Tập hợp $\left | \mathcal{X} \right |$ có bao nhiêu phần tử $?$

$b)$ Nếu viết tất cả các số của $\mathcal{X}$ thành một dãy tăng.Tính số hạng thứ $2015$ của dãy đó

a)Bổ đề: Số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình:
$\sum_{i=1}^{k}x_{i}\leq m$ là $\binom{m+k}{k}$

Trở lại bài toán:

Đặt $a_{i}=\sum_{k=1}^{i}x_{k}$. Ta có:$x_{i}\geq0, \forall i$ và $\sum_{i=1}^{6}x_{i}\leq 9, (1)$

Nếu $a_{6}=0$ thì $a_{6}=a_{5}=a_{4}=a_{3}=a_{2}=a_{1}=0$

Đặt số nghiệm nguyên không âm của $(1)$ là $S$ thì ta có $|X|=S-1$

Áp dụng bổ đề, ta có: $|X|=\binom{9+6}{6}-1=5004$

 

b) Đặt  $T_{i}$ là số các số thuộc $X$ mà $a_{6}=i, i=1,2,..,9$
Khi đó $T_{i}$ là số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình $\sum_{k=1}^{5}x_{k}\leq i$

Áp dụng bổ đề, suy ra: $T_{i}=\binom{i+5}{5}$

Ta có: $\sum_{i=1}^{7}T_{i}=1715 < 2015 < \sum_{i=1}^{8}T_{i}=3002 \Rightarrow a_{6}=8$

$2015-1715=300$
Tương tự, đặt $K_{i}$ là số các số thuộc $X$ mà $a_{6}=8, a_{5}=i, i=0,1,2,..,9$

Áp dụng bổ đề, suy ra: $K_{i}=\binom{i+4}{4}$

Ta có: $\sum_{i=0}^{5}K_{i}=252 < 300 < \sum_{i=0}^{6}K_{i}=462 \Rightarrow a_{5}=6$

$300-252=48$

Đặt $L_{i}$ là số các số thuộc $X$ mà $a_{6}=8, a_{5}=6, a_{4}=i, i=0,1,2,..,9$

Áp dụng bổ đề, ta có: $L_{i}=\binom{i+3}{3}$

Ta có: $\sum_{i=0}^{3}L_{i}=35 < 48 < \sum_{i=0}^{4}L_{i}=70 \Rightarrow a_{4}=4$

Suy ra, số hạng thứ $1715+252+35+1=2003$ là $864000$

Suy ra, số hạng thứ $2015$ là $864320$


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#4
Longtunhientoan2k

Longtunhientoan2k

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

 Nếu y=1 ta có được bộ ba (1,1,n)

 Nếu z=1 thì ta có bộ ba nghiệm số:$(n,2^{n}-1,1),(n,2^{n}+1,1)$

 Nếu x=1 thì ta quay trở lại trường hợp của y

 Nếu x,y,z>0 theo  định lí của Mihăilescu thì ta chỉ tìm được duy nhất một bộ ba số là (3;3;2)


         LONG VMF NQ MSP 


#5
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC GIỎI LỚP 12-VÒNG 2

Bài 1 (3 điểm)

Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(m,n)$ để phương trình $x^3-17x^2+mx-n^2=0$ có ba nghiệm nguyên $($ có thể trùng nhau $)$

 

Bài 2 (3 điểm)

Tìm hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn các điều kiện sau $:$

$i)$    $f$ tăng trên $ \mathbb{N}^*$

$ii)$   $f(xy)=f(x)f(y)\ \ ;\forall x,y\in \mathbb{N}^*$

$iii)$   Nếu $x,y\in \mathbb{N}^*:x\neq y$ và $x^y=y^x\Rightarrow \left ( f(x)-y \right )\left ( f(y)-x \right )=0$

 

Bài 3 (3 điểm)

Cho dãy số $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=a>3\\x_{n+1}=x_n^2-2x_n\ \ ;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng dãy số $(y_n)$ với $y_n=\frac{(x_1-1)(x_2-1)...(x_n-1)}{x_{n+1}}\ \ ;\forall n\ge 1$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

 

Bài 4 (4 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ và ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$.$K$ là một điểm tùy ý trên $BC$ $(K\neq B,C,D)$,gọi $I=\left ( BFK \right )\cap \left ( CEK \right )$

$a)$ Chứng minh rằng $IH\perp AK$

$b)$ Xác định vị trí điểm $K$ để $EF,IH,BC$ đồng quy

 

Bài 5 (3 điểm)

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x,y,z)$ của phương trình

$\left | 2^x-y^z \right |=1$

 

Bài 6 (4 điểm)

Cho tập hợp $\mathcal{X}=\left \{ \overline{a_6a_5a_4a_3a_2a_1}\mid 9\ge a_6\ge a_5\ge a_4\ge a_3\ge a_2\ge a_1,a_6\neq 0,a_i\in \mathbb{N},(i=\overline{1,6})\right \}$

$a)$ Tập hợp $\left | \mathcal{X} \right |$ có bao nhiêu phần tử $?$

$b)$ Nếu viết tất cả các số của $\mathcal{X}$ thành một dãy tăng.Tính số hạng thứ $2015$ của dãy đó

 

Câu hàm :v

Thay $x=1$ ta được $f(1)=1$ do $f(1)$>0

Từ iii) ta có $2^4$=$4^2$ Suy ra $f(2)=4$ hoặc $f(4)=2$

TH1: $f(4)=2$. Suy ra $f(2)=2$ hoặc $f(2)=1$

Mà $f(2)=1$ thì $f(4)=f(2).f(2)=1$ nên vô lý

Suy ra $f(2)=2$ => $f(3)=2$=>$f(6)=4$; $f(9)=4$

Ta cũng có $f(16)=4$ Suy ra $f(12)=4$. Vô lý

Vậy trường hợp 1 không xảy ra

TH2: $f(2)=4$. Có lẽ chứng minh quy nạp $f(n)$=$n^2$

Mình còn chỗ n+1 nguyên tố thì không suy ra được. 

Thánh nào vô giúp :v

Mình nói thêm là chỗ iii. Chỉ có duy nhất bộ (2;4) là thỏa thôi nên quy nạp chỉ cần cho câu ii là đủ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 09-10-2015 - 22:43


#6
chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết

Bài 5 (3 điểm)

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x,y,z)$ của phương trình

$\left | 2^x-y^z \right |=1$

Từ giả thiết ta có: $2^{x}=y^z+1$ hoặc $2^x=y^z-1$. Dễ thấy $y$ lẻ
TH1:  $2^{x}=y^z+1$

Nếu $x=1 \Rightarrow y=1,z=1$

Nếu $y=1 \Rightarrow x=1, z\in\mathbb{N}^{*}$

Nếu $z=1 \Rightarrow y=2^x-1, x\in\mathbb{N}^{*}$

Xét $x>1,y>1,z>1$

Nếu đặt $z=2^{a}t$, $t$ lẻ, $a>0,t>0$, ta có:

$2^{x}=(y^{2^{a}}+1)[(y^{2^{a}})^{t-1}-(y^{2^{a}})^{t-2}+...-y^{2^{a}}+1]$
Giả sử $t>1$, do $y^{2^{a}}$ và $t$ lẻ, lớn hơn $1$ nên $(y^{2^{a}})^{t-1}-(y^{2^{a}})^{t-2}+...-y^{2^{a}}+1$ lẻ và lớn hơn $1$, suy ra phương trình vô nghiệm. Do đó $t=1$.

Suy ra $2^{x}=y^{2^{a}}+1 \Leftrightarrow 2^{x}=(y^{2^{a-1}})^{2}+1$

Dễ thấy phương trình vô nghiệm.

TH2: $2^{x}=y^z-1$. Dễ thấy $y>1$

Nếu $x=1 \Rightarrow y=3, z=1$

Nếu $z=1 \Rightarrow y=2^{x}+1, x\in\mathbb{N}^{*}$

Xét $x>1,y>1,z>1$

Chứng minh tương tự suy ra: $z=2^{b}, b\geq1$

Đặt $y^{2^{b-1}}=c,c>1$, ta có: $2^{x}=(c+1)(c-1)$

Đặt $c+1=2^{e}, c-1=2^{f}, e>f>0$

Suy ra $2^{e-1}-2^{f-1}=1$, suy ra: $f<2$

Nếu $f=0 \Rightarrow 2^{x}=3$

Nếu $f=1 \Rightarrow x=3,y=3,z=2$

Vậy, phương trình có các nghiệm $(3,3,2),(k,2^k+1,1),(n,2^n-1,1),(1,1,l)$ với $\forall k\geq1,n\geq1, l>1$


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#7
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC GIỎI LỚP 12-VÒNG 2

Bài 1 (3 điểm)

Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(m,n)$ để phương trình $x^3-17x^2+mx-n^2=0$ có ba nghiệm nguyên $($ có thể trùng nhau $)$

 

Bài 2 (3 điểm)

Tìm hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn các điều kiện sau $:$

$i)$    $f$ tăng trên $ \mathbb{N}^*$

$ii)$   $f(xy)=f(x)f(y)\ \ ;\forall x,y\in \mathbb{N}^*$

$iii)$   Nếu $x,y\in \mathbb{N}^*:x\neq y$ và $x^y=y^x\Rightarrow \left ( f(x)-y \right )\left ( f(y)-x \right )=0$

 

Bài 3 (3 điểm)

Cho dãy số $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=a>3\\x_{n+1}=x_n^2-2x_n\ \ ;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng dãy số $(y_n)$ với $y_n=\frac{(x_1-1)(x_2-1)...(x_n-1)}{x_{n+1}}\ \ ;\forall n\ge 1$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

 

Bài 4 (4 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ và ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$.$K$ là một điểm tùy ý trên $BC$ $(K\neq B,C,D)$,gọi $I=\left ( BFK \right )\cap \left ( CEK \right )$

$a)$ Chứng minh rằng $IH\perp AK$

$b)$ Xác định vị trí điểm $K$ để $EF,IH,BC$ đồng quy

 

Bài 5 (3 điểm)

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x,y,z)$ của phương trình

$\left | 2^x-y^z \right |=1$

 

Bài 6 (4 điểm)

Cho tập hợp $\mathcal{X}=\left \{ \overline{a_6a_5a_4a_3a_2a_1}\mid 9\ge a_6\ge a_5\ge a_4\ge a_3\ge a_2\ge a_1,a_6\neq 0,a_i\in \mathbb{N},(i=\overline{1,6})\right \}$

$a)$ Tập hợp $\left | \mathcal{X} \right |$ có bao nhiêu phần tử $?$

$b)$ Nếu viết tất cả các số của $\mathcal{X}$ thành một dãy tăng.Tính số hạng thứ $2015$ của dãy đó

 

Bài 5 làm khá đơn giản. 

Dễ thấy y lẻ

TH1: $2^x=y^z+1$

    Giả sử z chẵn, ta luôn đưa được về $2^x=y^z+1$ với y,z đều lẻ. y,z này khác y,z đầu

    Do đó, áp dụng bổ đề về số mũ đúng, suy ra x=v2(y+1), do đó y+1>=$2^x$. Suy ra $y>=y^z$, 

TH2: áp dụng bổ đồ về số mũ đúng, ta được x=v2(y+1), Suy ra $y>=y^z$,

Cả 2 trường hợp, dấu bằng đều xảy ra, do đó $y=2^k+1$ hoặc $y=2^k-1$, Từ đó làm dễ rồi 



#8
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Câu hàm :v
Thay $x=1$ ta được $f(1)=1$ do $f(1)$>0
Từ iii) ta có $2^4$=$4^2$ Suy ra $f(2)=4$ hoặc $f(4)=2$
TH1: $f(4)=2$. Suy ra $f(2)=2$ hoặc $f(2)=1$
Mà $f(2)=1$ thì $f(4)=f(2).f(2)=1$ nên vô lý
Suy ra $f(2)=2$ => $f(3)=2$=>$f(6)=4$; $f(9)=4$
Ta cũng có $f(16)=4$ Suy ra $f(12)=4$. Vô lý
Vậy trường hợp 1 không xảy ra
TH2: $f(2)=4$. Có lẽ chứng minh quy nạp $f(n)$=$n^2$
Mình còn chỗ n+1 nguyên tố thì không suy ra được.
Thánh nào vô giúp :v
Mình nói thêm là chỗ iii. Chỉ có duy nhất bộ (2;4) là thỏa thôi nên quy nạp chỉ cần cho câu ii là đủ


có lẽ quy nạp ? Bài này dùng kẹp khá hay , hướng quy nạp không khả thi lắm

#9
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
http://diendantoanho...-n/#entry573058

#10
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
Bài dãy số có vẻ sai đề chắc phải là (x1+1)(x2+1).....(xn+1)/(x_(n+1)) chứ nhỉ

#11
superfrankie98

superfrankie98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Câu hàm :v

Thay $x=1$ ta được $f(1)=1$ do $f(1)$>0

Từ iii) ta có $2^4$=$4^2$ Suy ra $f(2)=4$ hoặc $f(4)=2$

TH1: $f(4)=2$. Suy ra $f(2)=2$ hoặc $f(2)=1$

Mà $f(2)=1$ thì $f(4)=f(2).f(2)=1$ nên vô lý

Suy ra $f(2)=2$ => $f(3)=2$=>$f(6)=4$; $f(9)=4$

Ta cũng có $f(16)=4$ Suy ra $f(12)=4$. Vô lý

Vậy trường hợp 1 không xảy ra

TH2: $f(2)=4$. Có lẽ chứng minh quy nạp $f(n)$=$n^2$

Mình còn chỗ n+1 nguyên tố thì không suy ra được. 

Thánh nào vô giúp :v

Mình nói thêm là chỗ iii. Chỉ có duy nhất bộ (2;4) là thỏa thôi nên quy nạp chỉ cần cho câu ii là đủ

theo mình từ đk i và ii suy ra f nhân tính 

khi đó f(x) = xa

thay x=4 y=2 vào iii suy ra a=2

làm vậy ko biết đã chặt chẽ chưa nữa  :mellow:






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh