Chủ đề này có 3 trả lời

[NancyLe]

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c\geq 0 & & \\ a+b+c=1& & \end{matrix}\right.$

 

a) $ab+bc+ca\geq 2abc$

b) $\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )\leq abc$

c) $ab+bc+ca-2abc\leq\frac{1}{4}\left ( 1+ab \right )$

[babylearnmathmv]

câu b là 1 dạng thù hình của bđt schur bậc 1

[babylearnmathmv]

có thể làm như sau 

bđt <~> (1-2a)(1-2b)(1-2c) <=abc <~> 9abc +1 >= 4(ab+bc+ca)

ko mất tính tổng quát giả sử a>=b>=c~> c<= 1/3

đặt f(a,b,c)=9abc +1 - 4(ab+bc+ca) 

~> f(a,b,c) - f((a+b)/2,(a+b)/2,c)=(1-c*(9/4))(a-b)²>=0 

mà f((a+b)/2,(a+b)/2,c)=f(1-c,1-c.c)=(1/4)*c(c-(1/3))²>=0

~> f(a,b,c) >=0 ~> đpcm

dấu = xảy ra <~> a=b=c=1/3 hoặc a=b=1/2 c=0 hoặc các hoán vị  

[babylearnmathmv]

có thể giải câu b theo bđt AM-GM