Chưng minh rằng: $1^{2}C_{2008}^{1}-2^{2}C_{2008}^{2}+3^{2}C_{2008}^{3}-...-2008^{2}C_{2008}^{2008}= 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi oncepice2: 10-10-2015 - 10:26
Chưng minh rằng: $1^{2}C_{2008}^{1}-2^{2}C_{2008}^{2}+3^{2}C_{2008}^{3}-...-2008^{2}C_{2008}^{2008}= 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi oncepice2: 10-10-2015 - 10:26
Chưng minh rằng: $1^{2}C_{2008}^{1}-2^{2}C_{2008}^{2}+3^{2}C_{2008}^{3}-...-2008^{2}C_{2008}^{2008}= 0$
Ký hiệu $\dbinom{n}{k} := \mathrm{C}^k_n$. Ta có:
\begin{align*} \sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} i^2 \dbinom{2008}{i} &=\sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} i \left[2008\dbinom{2007}{i-1}\right] \quad \text{(vì $\dbinom{n}{k}=\dfrac{n}{k}\dbinom{n-1}{k-1}$)}\\ &=2008\sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} \left[\left(i-1\right)\dbinom{2007}{i-1}+\dbinom{2007}{i-1}\right] \\ &=2008\sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1}\left[2007\dbinom{2006}{i-2}+\dbinom{2007}{i-1}\right] \\ &= 2008 .2007 \sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} \dbinom{2006}{i-2}+2008 \sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} \dbinom{2007}{i-1}\\ &= 2008 .2007 \sum^{2006}_{i=0} (-1)^{i+3} \dbinom{2006}{i}+2008 \sum^{2007}_{i=0} (-1)^{i+2} \dbinom{2006}{i}\\ &= 2008 .2007 (1-1)^{2006}+2008 (1-1)^{2007} \quad \text{(nhị thức $Newton$)} \\ &= 0 \tag{$\blacksquare$} \end{align*}
Chưng minh rằng: $1^{2}C_{2008}^{1}-2^{2}C_{2008}^{2}+3^{2}C_{2008}^{3}-...-2008^{2}C_{2008}^{2008}= 0$
Khai triển nhị thức Newton của $(1-x)^{2n}$ thu được:
$(1-x)^{2n}=C_{2n}^{0}-xC_{2n}^{1}+x^2C_{2n}^{2}-...+x^{2n}C_{2n}^{2n}$ (*)
Đạo hàm hai vế (*) theo $x$ thu được:
$2n(1-x)^{2n-1}=C_{2n}^{1}-2xC_{2n}^{2}+...-2nx^{2n-1}C_{2n}^{2n}$ (**)
Nhân hai vế (**) với $x$ thu được:
$2nx(1-x)^{2n-1}=xC_{2n}^{1}-2x^2C_{2n}^{2}+...-2nx^{2n}C_{2n}^{2n}$ (***)
Đạo hàm hai vế (***) theo $x$ thu được:
$2n(1-x)^{2n-1}-2n(2n-1)(1-x)^{2n-2}=C_{2n}^{1}-2^2xC_{2n}^{2}+...-(2n)^2x^{2n-1}C_{2n}^{2n}$
Thay $x = 1$ và $n = 1004$ ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ttlinhtinh: 10-10-2015 - 13:37
Thảo luận chung →
Lịch sử toán học →
Không gian tôpô, độ đo & tích phânBắt đầu bởi ratvuividagapdcban, 18-07-2023 giải tích, đại số, toán cao cấp và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
Giải phương trình:Bắt đầu bởi oncepice1, 16-06-2016 hỏi |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
Giải phương trình: $x^{2}+4x-3+(x^{2}-6x)\sqrt{x+1}= 0$Bắt đầu bởi oncepice1, 06-03-2016 hỏi |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
Giải phương trình sau: $log_{2}(x^{2}-x+1) + log_{x^{2}+2}(\frac{2}{x^{2}-x+1})= 1$Bắt đầu bởi oncepice1, 29-02-2016 hỏi |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
Tìm giá trị của m?Bắt đầu bởi oncepice1, 14-02-2016 hỏi |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh