Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh rằng: $1^{2}C_{2008}^{1}-2^{2}C_{2008}^{2}+3^{2}C_{2008}^{3}-...-2008^{2}C_{2008}^{2008}$

hỏi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 oncepice2

oncepice2

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-10-2015 - 10:24

Chưng minh rằng: $1^{2}C_{2008}^{1}-2^{2}C_{2008}^{2}+3^{2}C_{2008}^{3}-...-2008^{2}C_{2008}^{2008}= 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi oncepice2: 10-10-2015 - 10:26


#2 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-10-2015 - 13:27

Chưng minh rằng: $1^{2}C_{2008}^{1}-2^{2}C_{2008}^{2}+3^{2}C_{2008}^{3}-...-2008^{2}C_{2008}^{2008}= 0$

 

Ký hiệu $\dbinom{n}{k} := \mathrm{C}^k_n$. Ta có:

\begin{align*} \sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} i^2 \dbinom{2008}{i} &=\sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} i \left[2008\dbinom{2007}{i-1}\right] \quad \text{(vì $\dbinom{n}{k}=\dfrac{n}{k}\dbinom{n-1}{k-1}$)}\\ &=2008\sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} \left[\left(i-1\right)\dbinom{2007}{i-1}+\dbinom{2007}{i-1}\right] \\ &=2008\sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1}\left[2007\dbinom{2006}{i-2}+\dbinom{2007}{i-1}\right] \\ &= 2008 .2007 \sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} \dbinom{2006}{i-2}+2008 \sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} \dbinom{2007}{i-1}\\ &= 2008 .2007 \sum^{2006}_{i=0} (-1)^{i+3} \dbinom{2006}{i}+2008 \sum^{2007}_{i=0} (-1)^{i+2} \dbinom{2006}{i}\\ &= 2008 .2007 (1-1)^{2006}+2008 (1-1)^{2007} \quad \text{(nhị thức $Newton$)} \\ &= 0 \tag{$\blacksquare$}  \end{align*}


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#3 ttlinhtinh

ttlinhtinh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 266 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi

Đã gửi 10-10-2015 - 13:36

Chưng minh rằng: $1^{2}C_{2008}^{1}-2^{2}C_{2008}^{2}+3^{2}C_{2008}^{3}-...-2008^{2}C_{2008}^{2008}= 0$

Khai triển nhị thức Newton của $(1-x)^{2n}$ thu được:

$(1-x)^{2n}=C_{2n}^{0}-xC_{2n}^{1}+x^2C_{2n}^{2}-...+x^{2n}C_{2n}^{2n}$ (*)

Đạo hàm hai vế (*) theo $x$ thu được:

$2n(1-x)^{2n-1}=C_{2n}^{1}-2xC_{2n}^{2}+...-2nx^{2n-1}C_{2n}^{2n}$ (**)

Nhân hai vế (**) với $x$ thu được:

$2nx(1-x)^{2n-1}=xC_{2n}^{1}-2x^2C_{2n}^{2}+...-2nx^{2n}C_{2n}^{2n}$ (***)

Đạo hàm hai vế (***) theo $x$ thu được:

$2n(1-x)^{2n-1}-2n(2n-1)(1-x)^{2n-2}=C_{2n}^{1}-2^2xC_{2n}^{2}+...-(2n)^2x^{2n-1}C_{2n}^{2n}$

Thay $x = 1$ và $n = 1004$ ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ttlinhtinh: 10-10-2015 - 13:37






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hỏi

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh