Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $1^{2}C_{2008}^{1}-2^{2}C_{2008}^{2}+3^{2}C_{2008}^{3}-...-2008^{2}C_{2008}^{2008}$

- - - - - hỏi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
oncepice2

oncepice2

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Chưng minh rằng: $1^{2}C_{2008}^{1}-2^{2}C_{2008}^{2}+3^{2}C_{2008}^{3}-...-2008^{2}C_{2008}^{2008}= 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi oncepice2: 10-10-2015 - 10:26


#2
huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 336 Bài viết

Chưng minh rằng: $1^{2}C_{2008}^{1}-2^{2}C_{2008}^{2}+3^{2}C_{2008}^{3}-...-2008^{2}C_{2008}^{2008}= 0$

 

Ký hiệu $\dbinom{n}{k} := \mathrm{C}^k_n$. Ta có:

\begin{align*} \sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} i^2 \dbinom{2008}{i} &=\sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} i \left[2008\dbinom{2007}{i-1}\right] \quad \text{(vì $\dbinom{n}{k}=\dfrac{n}{k}\dbinom{n-1}{k-1}$)}\\ &=2008\sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} \left[\left(i-1\right)\dbinom{2007}{i-1}+\dbinom{2007}{i-1}\right] \\ &=2008\sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1}\left[2007\dbinom{2006}{i-2}+\dbinom{2007}{i-1}\right] \\ &= 2008 .2007 \sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} \dbinom{2006}{i-2}+2008 \sum^{2008}_{i=1} (-1)^{i+1} \dbinom{2007}{i-1}\\ &= 2008 .2007 \sum^{2006}_{i=0} (-1)^{i+3} \dbinom{2006}{i}+2008 \sum^{2007}_{i=0} (-1)^{i+2} \dbinom{2006}{i}\\ &= 2008 .2007 (1-1)^{2006}+2008 (1-1)^{2007} \quad \text{(nhị thức $Newton$)} \\ &= 0 \tag{$\blacksquare$}  \end{align*}


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#3
ttlinhtinh

ttlinhtinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Chưng minh rằng: $1^{2}C_{2008}^{1}-2^{2}C_{2008}^{2}+3^{2}C_{2008}^{3}-...-2008^{2}C_{2008}^{2008}= 0$

Khai triển nhị thức Newton của $(1-x)^{2n}$ thu được:

$(1-x)^{2n}=C_{2n}^{0}-xC_{2n}^{1}+x^2C_{2n}^{2}-...+x^{2n}C_{2n}^{2n}$ (*)

Đạo hàm hai vế (*) theo $x$ thu được:

$2n(1-x)^{2n-1}=C_{2n}^{1}-2xC_{2n}^{2}+...-2nx^{2n-1}C_{2n}^{2n}$ (**)

Nhân hai vế (**) với $x$ thu được:

$2nx(1-x)^{2n-1}=xC_{2n}^{1}-2x^2C_{2n}^{2}+...-2nx^{2n}C_{2n}^{2n}$ (***)

Đạo hàm hai vế (***) theo $x$ thu được:

$2n(1-x)^{2n-1}-2n(2n-1)(1-x)^{2n-2}=C_{2n}^{1}-2^2xC_{2n}^{2}+...-(2n)^2x^{2n-1}C_{2n}^{2n}$

Thay $x = 1$ và $n = 1004$ ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ttlinhtinh: 10-10-2015 - 13:37






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hỏi

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh