Chủ đề này có 1 trả lời

[boykutehandsome]

cho ba số không âm x,y,z và $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=2$

cmr

xyz $\leq \frac{1}{8}$

[hoctrocuaHolmes]

cho ba số không âm x,y,z và $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=2$

cmr

xyz $\leq \frac{1}{8}$

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=2\Rightarrow \frac{1}{1+x}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq 2\sqrt{\frac{yz}{(y+1)(z+1)}}$

Chứng minh tt ta có

$\frac{1}{y+1}\geq 2\sqrt{\frac{zx}{(1+z)(1+x)}};\frac{1}{z+1}\geq 2\sqrt{\frac{yx}{(1+y)(1+x)}}\Rightarrow \frac{1}{1+x}.\frac{1}{1+y}.\frac{1}{1+z}\geq 8\frac{xyz}{(1+z)(1+x)(1+y)}\Rightarrow xyz\leq \frac{1}{8} \rightarrow \blacksquare$

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$