Chủ đề này có 3 trả lời

[Minhnguyenthe333]

1/Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$.Chứng minh:

         $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

 

2/Cho $x,y>0$ thỏa $x+y+xy=3$.Tìm $GTLN$ của biểu thức:

        $P=\frac{3x}{y+1}+\frac{3y}{x+1}+\frac{xy}{x+y}-x^2-y^2$

 

[phamngochung9a]

1/Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$.Chứng minh:

         $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

 

2/Cho $x,y>0$ thỏa $x+y+xy=3$.Tìm $GTLN$ của biểu thức:

        $P=\frac{3x}{y+1}+\frac{3y}{x+1}+\frac{xy}{x+y}-x^2-y^2$

1)

$\sum \sqrt{x+yz}=\sum \sqrt{x(x+y+z)+yz}= \sum \sqrt{(x+y)(x+z)}\geq \sum \left ( x+\sqrt{yz} \right )=3+\sum \sqrt{xy}$

[phamngochung9a]

1/Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$.Chứng minh:

         $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

 

2/Cho $x,y>0$ thỏa $x+y+xy=3$.Tìm $GTLN$ của biểu thức:

        $P=\frac{3x}{y+1}+\frac{3y}{x+1}+\frac{xy}{x+y}-x^2-y^2$

2)$P=\sum \frac{(xy+x+y)x}{y+1}+\frac{xy}{x+y}-x^{2}-y^{2}=xy\left ( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1} \right )+\frac{xy}{x+y}=\frac{xy(x+y+2)}{4}+\frac{xy}{x+y}$

Đặt $t=xy$ thì $x+y=3-t$

Cần tìm max của hàm 

$f(t)=\frac{t(5-t)}{4}+\frac{t}{3-t}$ với $t\in \left (0;1 \right ]$

$f'(t)=\frac{5-2t}{4}+\frac{3}{(3-t)^{2}}$

Vì $t\in \left (0;1 \right ]$ nên $f'(t)> 0\Rightarrow$ $f(t)$ đồng biến trên $\left (0;1 \right ]$

$\Rightarrow f(t)\leq f(1)=\frac{3}{2}$

Vậy $max$ $f(t)=\frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow t=1\Rightarrow x=y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 13-10-2015 - 22:07

[babylearnmathmv]

x+y >= 2(xy)^1/2 ~>x+y+z= 1 >= z + 2(xy)^1/2

~> z >= z²+ 2z(xy)^1/2 ~> z+xy >= z²+2z(xy)^1/2+xy = (z+(xy)^1/2)²

~> (z+xy)^1/2 >= z + (xy)^1/2 tương tự (y+xz)^1/2>= y+(xz)^1/2 ; (x+yz)^1/2 >= x+(yz)^1/2 

^{cộng 3 bđt trên ta có đpcm với đk x+y+z =1}