Chứng minh rằng phương trình (4x-1)(4y-1)=4z2+1 có vô sô nghiệm nguyên.
1 bài số học
#1
Đã gửi 13-10-2015 - 22:41
#2
Đã gửi 15-10-2015 - 22:23
Chứng minh rằng phương trình (4x-1)(4y-1)=4z2+1 có vô sô nghiệm nguyên.
Mình nghĩ là vô nghiệm nguyên. Không biết sao
Bổ đề 1: Số có dạng $x^2+1$ sẽ không có ước số nguyên tố dạng $4k+3$
Ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng. Giả sử tồn tại $x^2+1$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$
Dễ chứng minh vô lý thôi
Bổ đề 2: Tích 2 số có dạng $4k-1$ sẽ là số có dạng $4k-1$
Bổ đề 3: Số có dạng $4k+3$ sẽ có ước nguyên tố dạng $4k+3$
Áp dụng 3 bổ đề trên, ta được
Xét VT, gọi $p$ là ước số nguyên tố dạng $4k+3$ của $(4x-1)(4y-1)$
Xét VP, $(2z)^2 +1$ không chia hết cho $p$
Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm nguyên
Đây là bài VMO Kiên Giang năm nay. Đề kêu là chứng minh vô nghiệm nguyên dương nhưng vô số nghiệm nguyên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 15-10-2015 - 22:24
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh