Đến nội dung

Hình ảnh

1 bài số học

- - - - -

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hungnguyenhsgs2109

hungnguyenhsgs2109

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Chứng minh rằng phương trình (4x-1)(4y-1)=4z2+1 có vô sô nghiệm nguyên.



#2
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

Chứng minh rằng phương trình (4x-1)(4y-1)=4z2+1 có vô sô nghiệm nguyên.

Mình nghĩ là vô nghiệm nguyên. Không biết sao

Bổ đề 1: Số có dạng $x^2+1$ sẽ không có ước số nguyên tố dạng $4k+3$

 Ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng. Giả sử tồn tại $x^2+1$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$

 Dễ chứng minh vô lý thôi

Bổ đề 2: Tích 2 số có dạng $4k-1$ sẽ là số có dạng $4k-1$

Bổ đề 3: Số có dạng $4k+3$ sẽ có ước nguyên tố dạng $4k+3$

 

Áp dụng 3 bổ đề trên, ta được

Xét VT, gọi $p$ là ước số nguyên tố dạng $4k+3$ của $(4x-1)(4y-1)$

Xét VP, $(2z)^2 +1$ không chia hết cho $p$

Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

Đây là bài VMO Kiên Giang năm nay. Đề kêu là chứng minh vô nghiệm nguyên dương nhưng vô số nghiệm nguyên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 15-10-2015 - 22:24





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh