Chủ đề này có 3 trả lời

[songokucadic1432]

$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ ab+bc+ca=3 & \end{matrix}\right.$

CMR$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}$$\geq \frac{3}{2}$

thank     

[O0NgocDuy0O]

Xài kĩ thuật Cauchy ngược dấu: 

Ta có: $\frac{1}{1+a^{2}}=1-\frac{a^{2}}{1+a^{2}}\geq 1-\frac{a^{2}}{2a}=1-\frac{a}{2}$.

Tương tự ta có$\sum \frac{1}{1+a^{2}}\geq 3-\frac{a+b+c}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

[quanguefa]

Xài kĩ thuật Cauchy ngược dấu: 

Ta có: $\frac{1}{1+a^{2}}=1-\frac{a^{2}}{1+a^{2}}\geq 1-\frac{a^{2}}{2a}=1-\frac{a}{2}$.

Tương tự ta có$\sum \frac{1}{1+a^{2}}\geq 3-\frac{a+b+c}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

xem lại đề đi bạn!!!

[royal1534]

Trích quyển 'Algebraic Inequalities' của tác giả Vasile:

 

    Sau khi quy đồng và thu gọn ta có:

                                       

BĐT cần chứng minh

   $\leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+3a^{2}b^{2}c^{2}$

 

Áp dụng bđt AM-GM ta có:$(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 9abc$

 

                    $\leftrightarrow 3(a+b+c) \geq 9abc$

 

                    $\leftrightarrow a+b+c \geq 3abc$

 

Ta cần chứng minh:$a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+abc(a+b+c)$

 

$\leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9 \geq 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3abc(a+b+c)$

 

$\leftrightarrow (ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(ab+bc+ca)^{2} \geq 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3abc(a+b+c)$

Sau khi thu gọn ta cần chứng minh:

 

$ab(a^{2}+b^{2})+bc(b^{2}+c^{2})+ca(a^{2}+c^{2}) \geq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

 

$\leftrightarrow ab(a-b)^{2}+bc(b-c)^{2}+ca(a-c)^{2} \geq 0$(Đúng)

 

Dấu '=' xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,1)$ hoặc $(0,\sqrt{3},\sqrt{3})$ Và các hoán vị