Chủ đề này có 1 trả lời

[tanlsth]

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại $m \geq 1$ và $2m$ số nguyên tố $p_1,p_2,\dots,p_m,q_1,q_2,\dots,q_m,$ phân biệt sao cho thoả mãn 2 điều kiện sau

 

(1) $p_i >  q_i$ với mọi $i=1,\dots,m$

(2) $n=\sum_{i=1}^{m}p_i-q_i$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 15-10-2015 - 15:38

[Zaraki]

Trích dẫn lại lời giải của mình tại đây.

 

 

Lời giải. Xin nhắc lại bổ đề Bertrand. 

Bổ đề Bertrand. Với mọi số nguyên dương $n>1$ luôn tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $n<p<2n$.

 

Quay lại bài toán, xét một số nguyên dương $n>1$ bất kì. Theo bổ đề thì tồn tại số nguyên tố $p_0$ thoả $n<p_0<2n$. Khi đó $n=p_0-r_0$ thì $1 \le r_0$ và $p_0>2r_0$. Tiếp tục áp dụng bổ đề Bertrand thì tồn tại số nguyên tố $p_1$ sao cho $r_0<p_1<2r_0$ khi đó $n=p_0-r_0=p_0-(p_1-r_1)=(p_0-p_1)+r_1$ với $p_1>2r_1$. Tương tự, tồn tại số nguyên tố $p_2$ sao cho $2r_1>p_2>r_1$ suy ra $n=(p_0-p_1)+p_2-r_2$ với $p_2>2r_2 \ge 2$. Bất cứ khi nào $r_i>1$, ta cứ tiếp tục áp dụng Bổ đề Bertrand. Theo cách xây như trên thì ta luôn có các số $p_i$ phân biệt, hay cụ thể hơn $p_0>p_1>p_2> \cdots $

 

Như vậy, đến một lúc nào đó sẽ tồn tại $i$ sao cho $r_i=1$. Có hai khả năng sau có thể xảy ra:

 

TH1. Nếu $n= (p_0-p_1)+(p_1-p_2)+ \cdots + (p_{i-1}-p_i)+r_i$ với $p_i>2r_i=2$ theo cách xây dựng các số $p_l$.

Nếu $p_i=3$ thì $n=(p_0-p_1)+(p_1-p_2)+ \cdots + (p_{i-1}-2)$, ta có đpcm.

Nếu $p_i >3$ thì $n=(p_0-p_1)+(p_1-p_2)+ \cdots + (p_{i-1}-p_i)+(3-2)$, ta có đpcm.

 

TH2. Nếu $n=(p_0-p_1)+(p_1-p_2)+ \cdots + (p_{i-2}-p_{i-1})+p_{i}-r_i$ với $p_i>2r_i=2$ theo cách xây dựng các số $p_l$.

 

Nếu $p_i=3$ thì với $p_{i-1}=5$ ta có $n=(p_0-p_1)+ \cdots + (p_{i-2}-3)$. Còn với $p_{i-1}>5$ thì $n=(p_0-p_1)+ \cdots + (p_{i-2}-p_{i-1})+(5-3)$.

 

Nếu $p_i=5$ thì với $p_{i-1}=7$ thì $n=(p_0-p_1)+ \cdots + (p_{i-2}-3)$. Còn với $p_{i-1}>7$ thì $n=(p_0-p_1)+ \cdots +(p_{i-2}-p_{i-1})+(7-3)$.

 

Nếu $p_i=7$ thì với $p_{i-1}=11$ thì $n=(p_0-p_1)+ \cdots + (p_{i-2}-5)$. Còn với $p_{i-1}>11$ thì $n=(p_0-p_1)+ \cdots +(p_{i-2}-p_{i-1})+(11-5)$.

 

Nếu $p_i>7$ thì $n=(p_0-p_1)+\cdots + (p_{i-2}-p_{i-1})+(p_i-5)+(7-3)$.

 

Bài toán được chứng minh.    $\blacksquare$