Đến nội dung

Hình ảnh

$(a+b+c)^{5}$$\geq$81($a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$)abc.

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
duongduong352481980

duongduong352481980

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

Cho ba số dương a,b,c.CMR $(a+b+c)^{5}$$\geq$81($a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$)abc.



#2
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Cho ba số dương a,b,c.CMR $(a+b+c)^{5}$$\geq$81($a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$)abc.

 

 Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b\leq c$

 Đặt $b=a+x$ và $c=a+x+y$ với $x,y\geq 0$

 Khi đó bất đẳng thức tương đương $(2x+y)^5+27a^3(x^2+xy+y^2)+9a^2(2x+y)^3+3a(26x^4+52x^3y+39x^2y^2+13xy^3+5y^4)\geq 0$

 Luôn đúng :v

 Đùa thôi :)) Cách trên trâu bò quá :))

 Lời giải :

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

 $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)\Rightarrow 3abc\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{a+b+c}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh

 $(a+b+c)^6\geq 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2$

 Để í : $(a+b+c)^6=[a^2+b^2+c^2+(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)]^3$

 Áp dụng AM-GM ta có ngay điều cần chứng minh

 Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$



#3
duythanbg

duythanbg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

Chứng minh BĐT Tổng quát được đấy : 

Với $a_{i}>0$

 

$a_{1}a_{2}...a_{n}(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2) \leq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{n+2}}{n^{n+1}}$

 

Chứng minh bằng Quy nạp và Dồn biến về Trung bình cộng.  :icon10:


          

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh