Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+a^2+c^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2}$$
$\sum \frac{1}{4a+b^2+c^2}\leq \frac{1}{2}$
#1
Đã gửi 17-10-2015 - 23:23
#2
Đã gửi 18-10-2015 - 08:32
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 18-10-2015 - 08:33
#3
Đã gửi 18-10-2015 - 09:28
BĐT cần chứng minh $\leftrightarrow \sum \frac{(a+b+c)^{2}}{36a^{2}+9b^{2}+9c^{2}} \leq \frac{1}{2}$Áp dụng bđt Swarchz ta có $\frac{(a+b+c)^{2}}{36a^{2}+9b^{2}+9c^{2}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{18a^{2}+(9a^{2}+9b^{2})+(9a^{2}+9c^{2})} \leq \frac{a^{2}}{18a^{2}}+\frac{b^{2}}{9a^{2}+9b^{2}}+\frac{c^{2}}{9a^{2}+9c^{2}}=\frac{1}{18}+\frac{b^{2}}{9a^{2}+9b^{2}}+\frac{c^{2}}{9a^{2}+9c^{2}}$Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại$\sum \frac{(a+b+c)^{2}}{36a^{2}+9b^{2}+9c^{2}} \leq \frac{3}{18}+\sum \frac{b^{2}}{9(a^{2}+b^{2})}+\sum \frac{c^{2}}{9(a^{2}+c^{2})}=\frac{3}{18}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{2}$P\s:Đọc nhầm đề rồi
Cái tôi muốn đề cập đến là BĐT phía dưới vì nó "tương tự" với BĐT phía trên. Còn về BĐT bên trên thì nó đã được chứng minh bằng C-S trong khá nhiều tài liệu
#4
Đã gửi 18-10-2015 - 14:55
Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng
Với $a,\,b,\,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng
\[\frac{1}{ka+b^2+c^2} + \frac{1}{kb+c^2+a^2} + \frac{1}{kc+a^2+b^2} \leqslant \frac{3}{k+2},\]
trong đó $k = 2 + \frac{\sqrt{37}}{2}.$
Nhận xét. Ngoài ra $k= 2 + \frac{\sqrt{37}}{2}$ cũng là hằng số lớn nhất để bất đẳng thức trên đúng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 18-10-2015 - 14:58
- tunglamlqddb yêu thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
#5
Đã gửi 20-10-2015 - 20:55
Mình thử lm bài của bạn theo dồn biến, nó tư tưởng khá rõ ràng:Cái tôi muốn đề cập đến là BĐT phía dưới vì nó "tương tự" với BĐT phía trên. Còn về BĐT bên trên thì nó đã được chứng minh bằng C-S trong khá nhiều tài liệu
-) dồn về biến (a , (b+c)/2, (b+c)/2). Để cm bđt " trung gian" thì quy đồng một lúc, giả giử a≤b≤c, là ra.
-) cm với biến mới thì chuyển về biến a và quy đồng, sử dụng thêm a≤1
Bạ cm bài này như nào vậy?
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh