Chủ đề này có 4 trả lời

[longatk08]

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+a^2+c^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2}$$

 

Cho $a,b,c$ không âm thỏa $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{1}{4a+b^2+c^2}+\frac{1}{4b+c^2+a^2}+\frac{1}{4c+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2}$$

[royal1534]

BĐT cần chứng minh $\leftrightarrow \sum \frac{(a+b+c)^{2}}{36a^{2}+9b^{2}+9c^{2}} \leq \frac{1}{2}$

Áp dụng bđt Swarchz ta có $\frac{(a+b+c)^{2}}{36a^{2}+9b^{2}+9c^{2}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{18a^{2}+(9a^{2}+9b^{2})+(9a^{2}+9c^{2})} \leq \frac{a^{2}}{18a^{2}}+\frac{b^{2}}{9a^{2}+9b^{2}}+\frac{c^{2}}{9a^{2}+9c^{2}}=\frac{1}{18}+\frac{b^{2}}{9a^{2}+9b^{2}}+\frac{c^{2}}{9a^{2}+9c^{2}}$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại

$\sum \frac{(a+b+c)^{2}}{36a^{2}+9b^{2}+9c^{2}} \leq \frac{3}{18}+\sum \frac{b^{2}}{9(a^{2}+b^{2})}+\sum \frac{c^{2}}{9(a^{2}+c^{2})}=\frac{3}{18}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{2}$

P\s:Đọc nhầm đề rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 18-10-2015 - 08:33

[longatk08]

 

BĐT cần chứng minh $\leftrightarrow \sum \frac{(a+b+c)^{2}}{36a^{2}+9b^{2}+9c^{2}} \leq \frac{1}{2}$

Áp dụng bđt Swarchz ta có $\frac{(a+b+c)^{2}}{36a^{2}+9b^{2}+9c^{2}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{18a^{2}+(9a^{2}+9b^{2})+(9a^{2}+9c^{2})} \leq \frac{a^{2}}{18a^{2}}+\frac{b^{2}}{9a^{2}+9b^{2}}+\frac{c^{2}}{9a^{2}+9c^{2}}=\frac{1}{18}+\frac{b^{2}}{9a^{2}+9b^{2}}+\frac{c^{2}}{9a^{2}+9c^{2}}$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại

$\sum \frac{(a+b+c)^{2}}{36a^{2}+9b^{2}+9c^{2}} \leq \frac{3}{18}+\sum \frac{b^{2}}{9(a^{2}+b^{2})}+\sum \frac{c^{2}}{9(a^{2}+c^{2})}=\frac{3}{18}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{2}$

P\s:Đọc nhầm đề rồi

 

Cái tôi muốn đề cập đến là BĐT phía dưới vì nó "tương tự" với BĐT phía trên. Còn về BĐT bên trên thì nó đã được chứng minh bằng C-S trong khá nhiều tài liệu

[Nguyenhuyen_AG]

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng

 

Với $a,\,b,\,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng

\[\frac{1}{ka+b^2+c^2} + \frac{1}{kb+c^2+a^2} + \frac{1}{kc+a^2+b^2} \leqslant \frac{3}{k+2},\]

trong đó $k = 2 + \frac{\sqrt{37}}{2}.$

 

Nhận xét. Ngoài ra $k= 2 + \frac{\sqrt{37}}{2}$ cũng là hằng số lớn nhất để bất đẳng thức trên đúng.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 18-10-2015 - 14:58

[tunglamlqddb]

Cái tôi muốn đề cập đến là BĐT phía dưới vì nó "tương tự" với BĐT phía trên. Còn về BĐT bên trên thì nó đã được chứng minh bằng C-S trong khá nhiều tài liệu

Mình thử lm bài của bạn theo dồn biến, nó tư tưởng khá rõ ràng:
-) dồn về biến (a , (b+c)/2, (b+c)/2). Để cm bđt " trung gian" thì quy đồng một lúc, giả giử a≤b≤c, là ra.
-) cm với biến mới thì chuyển về biến a và quy đồng, sử dụng thêm a≤1

Bạ cm bài này như nào vậy?