Chủ đề này có 1 trả lời

[grigoriperelmanlapdi]

Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Chứng minh rằng trung điểm $BC$, trung điểm $AD$ và $I$ thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi grigoriperelmanlapdi: 18-10-2015 - 13:16

[hkh172]

Từ bổ đề: $a\underset{IA}{\rightarrow}+b\underset{IB}{\rightarrow}+c\underset{IC}{\rightarrow}=\underset{0}{\rightarrow}$

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC

$\Rightarrow$ BD=p-b, CD=p-c

$\Rightarrow (p-c)\underset{BD}{\rightarrow}+(p-b)\underset{CD}{\rightarrow}=\underset{0}{\rightarrow}$

$\Rightarrow \underset{ID}{\rightarrow}=\frac{(p-c)\underset{IB}{\rightarrow}+(p-b)\underset{IC}{\rightarrow}}{a}$

K là trung điểm của AD  $\Rightarrow 2\underset{IK}{\rightarrow}=\underset{IA}{\rightarrow}+\underset{ID}{\rightarrow}$

$\Rightarrow 2\underset{IK}{\rightarrow}=\frac{-b\underset{IB}{\rightarrow}-c\underset{IC}{\rightarrow}}{a}=\frac{(p-b-c)(\underset{IB}{\rightarrow}+\underset{IC}{\rightarrow})}{a}$

J là trung điểm BC  $\Rightarrow 2\underset{IJ}{\rightarrow}=\underset{IB}{\rightarrow}+\underset{IC}{\rightarrow}$

$\Rightarrow 2\underset{IK}{\rightarrow}=2\frac{p-c-b}{a}\underset{IJ}{\rightarrow}$

$\Rightarrow \underset{IK}{\rightarrow}=\frac{p-b-c}{a}\underset{IJ}{\rightarrow}$

$\Rightarrow$ I, J, K thẳng hàng (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hkh172: 18-10-2015 - 21:15