Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a,b,c>0 và abc=1, CMR: $\sum\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq\frac{3}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 tpctnd

tpctnd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

Đã gửi 18-10-2015 - 20:39

1/ Cho tam giác ABC, chứng minh rằng $\sum\frac{1}{a}+\frac{9}{a+b+c} \geq 4(\sum\frac{1}{a+b})$
2/ Cho $a,b,c>0$ CMR $\frac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}(\sum a^{2})(\sum\frac{1}{a})\geq(\sum a+\sqrt{\sum a^{2}})$

3/ Cho a,b,c>0, tìm max $P=\sum\frac{a(b+c)}{a^{2}+(b+c)^{2}}$

4/ Cho a,b,c>0, CMR: $\sum\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq1$
5/Cho a,b,c>0 và abc=1, CMR: $\sum\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq\frac{3}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpctnd: 18-10-2015 - 20:42


#2 lenhatsinh3

lenhatsinh3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT An Nhơn 2
  • Sở thích:Pokemon, giải toán

Đã gửi 18-10-2015 - 21:14

 

5/Cho a,b,c>0 và abc=1, CMR: $\sum\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq\frac{3}{4}$

$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geqslant \frac{3a}{4}$

Tương tự với 2 hạng tử còn lại ta suy ra

$\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{a+b+c}{4}-\frac{3}{4}\geq \frac{9}{4}-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

      :ukliam2:

            :ukliam2:

                  :ukliam2:

             :ukliam2:

        :ukliam2:  

     :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#3 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 18-10-2015 - 21:19

5/Cho a,b,c>0 và abc=1, CMR: $\sum\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq\frac{3}{4}$

$P=\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\=\sum \frac{a^{4}}{(1+ab)(1+ac)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum (ab+1)(ac+1)}\geq \frac{(a+b+c)^4}{9(a+b+c)+6(a+b+c)^2+27}$
Ta có: $\frac{1}{P}=\frac{9}{(a+b+c)^3}+\frac{6}{(a+b+c)^2}+\frac{27}{(a+b+c)^4}\leq \frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$
$\Rightarrow P\geq \frac{3}{4}$.Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

#4 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 18-10-2015 - 21:25

3/ Cho a,b,c>0, tìm max $P=\sum\frac{a(b+c)}{a^{2}+(b+c)^{2}}$

$P\leq \sum \frac{a(b+c)}{2a(b+c)}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=2b=2c$

#5 tpctnd

tpctnd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

Đã gửi 18-10-2015 - 21:32

$P\leq \sum \frac{a(b+c)}{2a(b+c)}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=2b=2c$

dấu "=" không xảy ra được em



#6 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 18-10-2015 - 21:34

dấu "=" không xảy ra được em

vậy GTLN là gì ạ?






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh