Chủ đề này có 6 trả lời

[anhminhnam]

(Siêu Khó)

Tìm n tự nhiên sao cho a, b là 2 ước nguyên tố cùng nhau của n thì a+b-1 cũng là ước của n

[tanlsth]

(Siêu Khó)

Tìm n tự nhiên sao cho a, b là 2 ước nguyên tố cùng nhau của n thì a+b-1 cũng là ước của n

 

Nhận thấy nếu $n$ chỉ có 1 ước số nguyên tố thì luôn thoả mãn, tức $n=p^{k}$ với $p$ là số nguyên tố là 1 nghiệm của bài

 

Giả sử $n$ có ít nhất 2 ước số nguyên tố, đặt $n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}$ với $p_1<\dots<p_k$ là các số nguyên tố, $\alpha_i>0, k>1$

Xét $a=p_1, b=\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}$, ta có $a+b-1=\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}+p_1-1$ là ước của $n$ và do đó có thể biểu diễn

$\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}+p_1-1=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\beta_i}$

Nếu tồn tại $\beta_i > 0$ với $i>1$ thì suy ra $p_1-1$ chia hết cho $p_i$, điều này là vô lý

Suy ra $\beta_i=0$ với mọi $i>1$, tức $\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}+p_1-1=p_1^{\beta_1} \leftrightarrow n=p_1^{\alpha_1}(p_1^{\beta_1}-p_1+1)$

Đến đây ta dễ nhận thấy $\alpha_1\geq\beta_1\geq \alpha_2+\dots+\alpha_k+1\geq 2$

 

Tiếp theo xét $a=p_1^{\beta_1}-p_1+1, b=p_1^2$ ta có $p_1^{\beta_1}-p_1+p_1^2$ là ước của $n$

suy ra $p_1^{\beta_1-1}-1+p_1$ là ước của $p_1^{\beta_1}-p+1 \leftrightarrow p_1^2-1 = t(p_1^{\beta_1-1}+p_1-1)$ với $t$ là số tự nhiên

Nếu $\beta_1>2$ thì nhận thấy không thoả mãn, do đó $\beta_1=2$ và ta có $p_1^2-1=t(2p_1-1)$

Đến đây thì đơn giản, vì $(p_1-1,2p_1-1)=1$ nên $p_1+1$ chia hết cho $2p_1-1$, tức $p_1\leq2$

Với $p_1=2,\beta_1=2$ ta có $n=3\times2^{\alpha}$

 

Nếu $\alpha>2$ xét tiếp với $a=8,b=3$ suy ra $a+b-1=10$ là ước của $n$, điều này không thoả mãn

Vậy $\alpha=2$ và tập các số $n$ thoả mãn là $\{1,12,p^k\}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 20-10-2015 - 16:13

[anhminhnam]

Nhận thấy nếu $n$ chỉ có 1 ước số nguyên tố thì luôn thoả mãn, tức $n=p^{k}$ với $p$ là số nguyên tố là 1 nghiệm của bài

 

Giả sử $n$ có ít nhất 2 ước số nguyên tố, đặt $n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}$ với $p_1<\dots<p_k$ là các số nguyên tố, $\alpha_i>0, k>1$

Xét $a=p_1, b=\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}$, ta có $a+b-1=\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}+p_1-1$ là ước của $n$ và do đó có thể biểu diễn

$\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}+p_1-1=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\beta_i}$

Nếu tồn tại $\beta_i > 0$ với $i>1$ thì suy ra $p_1-1$ chia hết cho $p_i$, điều này là vô lý

 

Bạn giải kĩ phần vô lí này với @@, cảm ơn rất nhiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhnam: 20-10-2015 - 17:02

[tanlsth]

Bạn giải kĩ phần vô lí này với @@, cảm ơn rất nhiều

 

@@

Nếu tồn tại $\beta_i>0$ với $i>1$ thì ta có $\prod_{i=1}^{k}p_i^{\beta_i}$ và $\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}$ đều chia hết cho $p_i$,

do đó $p_1-1$ cũng phải chia hết cho $p_i$, mà do $p_i>p_1>p_1-1$ nên vô lý

@@

[anhminhnam]

À vầy cho mình hỏi phần mũ B >2 không thỏa mãn là vì sao vầy ) Chỉ còn phần đó thôi.

[tanlsth]

À vầy cho mình hỏi phần mũ B >2 không thỏa mãn là vì sao vầy ) Chỉ còn phần đó thôi.

 

Cái này không phải là hiển nhiên sao

[I Love MC]

Ta gọi "số tốt" nếu nó thỏa mãn đề bài cho . Nhận xét rằng tất cả các lũy thừa số nguyên tố là "số tốt" . Giả sử $n$ là "số tốt" có hai thừa số nguyên tố phân biệt và chúng nhỏ nhất. Đặt $n=p^rs$ với $p$ là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết $n$ và $(s,p)=1$ . Vì $n$ là "số tốt" nên $p+s-1$ phải chia hết cho  $n$ . Với mỗi số nguyên tốt $q$ sao cho $q|s$ ,$s<s+p-1<s+q$ vì vậy $q \not | p+s-1$ . Do đó chỉ có thừa số nguyên tố của $p+s-1$ là $p$ thế thì $s=p^c-p+1$ với mọi $c>1$ . Bởi vì $p^c|n,p^c+s-1=2p^c-p |n$ . Bởi vì $(2p^{c-1}-1,p)=1$ suy ra nó phải chia hết $s$. Nhưng mà : $\frac{p-1}{2}<\frac{p^c-p+1}{2p^{c-1}-1}<\frac{p+1}{2}$, do đó $2p^{c-1}-1 \not |s$