Chủ đề này có 3 trả lời

[Minhnguyenthe333]

1/Cho $x,y,z>0$ thỏa $xy+yz+zx=5$.Tìm $GTNN$ của biểu thức:

                            $P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{z^2+5}}$

 

2/Chứng minh rằng với mọi số thực $x_1,x_2,x_3,....,x_n$ ta có:

          $\frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+...+\frac{x_n}{1+x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}<\sqrt{n}$

 

3/Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:

                    $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 19-10-2015 - 21:45

[huy2403exo]

3/Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:

                    $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

 

$\Leftrightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Dễ thấy $\sum \frac{a}{c}\geq 3$

Cần chứng minh : $\sum \frac{a^2}{b^2}\geq \sum \frac{a}{b}$

Có $\sum \frac{a^2}{b^2}\geq\frac{1}{3} \left ( \sum \frac{a}{b} \right )^2$

Nếu đặt $\sum \frac{a}{b}=t$ cần chứng minh $t^2-3t\geq 0 \Leftrightarrow t(t-3)\geq 0$ ( luôn đúng do $t\geq 3$)

Dấu = khi $a=b=c$

[Quoc Tuan Qbdh]

1/Cho $x,y,z>0$ thỏa $xy+yz+zx=5$.Tìm $GTNN$ của biểu thức:

                            $P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{z^2+5}}$

 

 

Thay $5=xy+yz+zx$

Ta có : $P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x+y)(x+z)}+\sqrt{6(y+z)(y+x)}+\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

Áp dụng BĐT $Cauchy$ ta có:

$\sqrt{6(x+y)(x+z)} \leq \frac{3(x+y)+2(x+z)}{2}$

$\sqrt{6(y+z)(y+x)} \leq \frac{3(y+x)+2(y+z)}{2}$

$\sqrt{(z+y)(z+x)} \leq \frac{(z+y)+(x+z)}{2}$

Cộng vế theo vế của ba BĐT cùng chiều ta được

$\sqrt{6(x+y)(x+z)}+\sqrt{6(y+z)(y+x)}+\sqrt{(z+y)(z+x)}  \leq 4,5x+4,5y+3z$

Từ đây ta có

$P \geq \frac{2(1,5x+1,5y+z)}{3(1,5x+1,5y+z)}=\frac{2}{3}$

Dấu bằng xảy ra khi

$\left\{\begin{matrix}3(x+y)=2(y+z)=2(x+z) \\ x+z=z+y \\ xy+yz+zx=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=y=1 \\ z=2 \end{matrix}\right.$

[Quoc Tuan Qbdh]

 

 

2/Chứng minh rằng với mọi số thực $x_1,x_2,x_3,....,x_n$ ta có:

          $\frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+...+\frac{x_n}{1+x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}<\sqrt{n}$

 

 

$\boxed{IMO-Shortlist-2001}$

Đặt $a_0=1$ và $a_i=1+x_1^{2}+....+x_i^{2}$ ; $i=\overline{1,n}$

Suy ra được $x_i=\sqrt{a_i-a_{i-1}}$

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

$\frac{\sqrt{a_1-1}}{a_1}+\frac{\sqrt{a_2-a_1}}{a_2}+....+\frac{\sqrt{a_n-a_{n-1}}}{a_n} < \sqrt{n}$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta được

$\frac{\sqrt{a_1-1}}{a_1}+\frac{\sqrt{a_2-a_1}}{a_2}+...+\frac{\sqrt{a_n-a_{n-1}}}{a_n} < \sqrt{(1+1+...+1)\left (\frac{a_1-1}{a_1^{2}}+...\frac{a_n-a_{n-1}}{a_n^{2}}\right )}$

( $n$ số $1$ ) $(1)$

Vì $a_i \geq a_{i-1}$ nên ta có

$\frac{a_1-1}{a_1^{2}}+...\frac{a_n-a_{n-1}}{a_n^{2}} \leq \frac{a_1-1}{a_1.a_0}+...+\frac{a_n-a_{n-1}}{a_n.a_{n-1}}=1-\frac{1}{a_n} \leq 1$ $(2)$

Kết hợp $(1)(2)$

$\frac{\sqrt{a_1-1}}{a_1}+\frac{\sqrt{a_2-a_1}}{a_2}+...+\frac{\sqrt{a_n-a_{n-1}}}{a_n} < \sqrt{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 22-10-2015 - 19:55
$\LaTeX$