2/Chứng minh rằng với mọi số thực $x_1,x_2,x_3,....,x_n$ ta có:
$\frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+...+\frac{x_n}{1+x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}<\sqrt{n}$
$\boxed{IMO-Shortlist-2001}$
Đặt $a_0=1$ và $a_i=1+x_1^{2}+....+x_i^{2}$ ; $i=\overline{1,n}$
Suy ra được $x_i=\sqrt{a_i-a_{i-1}}$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
$\frac{\sqrt{a_1-1}}{a_1}+\frac{\sqrt{a_2-a_1}}{a_2}+....+\frac{\sqrt{a_n-a_{n-1}}}{a_n} < \sqrt{n}$
Áp dụng BĐT $C-S$ ta được
$\frac{\sqrt{a_1-1}}{a_1}+\frac{\sqrt{a_2-a_1}}{a_2}+...+\frac{\sqrt{a_n-a_{n-1}}}{a_n} < \sqrt{(1+1+...+1)\left (\frac{a_1-1}{a_1^{2}}+...\frac{a_n-a_{n-1}}{a_n^{2}}\right )}$
( $n$ số $1$ ) $(1)$
Vì $a_i \geq a_{i-1}$ nên ta có
$\frac{a_1-1}{a_1^{2}}+...\frac{a_n-a_{n-1}}{a_n^{2}} \leq \frac{a_1-1}{a_1.a_0}+...+\frac{a_n-a_{n-1}}{a_n.a_{n-1}}=1-\frac{1}{a_n} \leq 1$ $(2)$
Kết hợp $(1)(2)$
$\frac{\sqrt{a_1-1}}{a_1}+\frac{\sqrt{a_2-a_1}}{a_2}+...+\frac{\sqrt{a_n-a_{n-1}}}{a_n} < \sqrt{n}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 22-10-2015 - 19:55
$\LaTeX$