Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau: $x^{4}+7^{x}+47=y^{2}$ ( Theo phương pháp mof thì đã tìm được 2 cặp là (4;52),(4;-52))
$x^{4}+7^{x}+47=y^{2}$
Bắt đầu bởi quanchun98, 22-10-2015 - 13:50
#1
Đã gửi 22-10-2015 - 13:50
#2
Đã gửi 19-11-2015 - 23:11
Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau: $x^{4}+7^{x}+47=y^{2}$ ( Theo phương pháp mof thì đã tìm được 2 cặp là (4;52),(4;-52))
Nếu $x$ lẻ thì vế trái chia 4 dư 3 (loại)
Nếu $x$ chẵn thì $x=2k$
Từ đó $(2k)^4+7^{2k}+47=y^2$
Dễ chứng minh $(7^k)^2<y^2<(7^k+1)^2$ với $k> 3 $ bằng quy nạp
Từ đó $k \in \left \{1,2,3 \right \} $
Thử vào thấy $k=2,x=4,y= 52$ thỏa mãn
- Saturina yêu thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh