Chủ đề này có 6 trả lời

[algorthm]

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Thuận năm 2015-2016 ( vòng 2 )

Hình gửi kèm

• 

[Zaraki]

Bài 1. Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3y^3+72x^3=1 \\ x^2y^2+2x^2y-8x=-2 \end{cases}$.

Bài 2. Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $xy+yz+zx+xyz=4$. Chứng minh $\frac xy+ \frac yz + \frac zx \ge x+y+z \ge xy+yz+zx$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $AB+BC=3AC$, đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $AB,BC,CA$ lần lượt tại $D,E,F$. Trên cạnh $AC$ lấy $M$ sao cho $AM=CF$. Gọi $N,P$ là giao điểm của $MB$ và đường tròn $(I)$ với $N$ nằm giữa $B$ và $P$. Đường thẳng $CN$ cắt đường thẳng $DE$ tại $K$. Chứng minh rằng đường tròn qua ba điểm $I,K,N$ tiếp xúc với đường tròn $(I)$.

Bài 4. Trong một hội nghị có $155$ đại biểu, ban tổ chức nhận thấy có ít nhất $2015$ cặp đại biểu quen biết nhau. Chứng minh rằng tồn tại $4$ đại biểu $A,B,C,D$ sao cho $A$ và $B$, $B$ và $C$, $C$ và $D$, $D$ và $A$ quen biết nhau.

[longatk08]

Bài bất dùng bổ đề:

 

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$$

 

Vế sau là BĐT trong đề VMO năm 96

[superpower]

Bài 1. Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3y^3+72x^3=1 \\ x^2y^2+2x^2y-8x=-2 \end{cases}$.

Bài 2. Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $xy+yz+zx+xyz=4$. Chứng minh $\frac xy+ \frac yz + \frac zx \ge x+y+z \ge xy+yz+zx$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $AB+BC=3AC$, đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $AB,BC,CA$ lần lượt tại $D,E,F$. Trên cạnh $AC$ lấy $M$ sao cho $AM=CF$. Gọi $N,P$ là giao điểm của $MB$ và đường tròn $(I)$ với $N$ nằm giữa $B$ và $P$. Đường thẳng $CN$ cắt đường thẳng $DE$ tại $K$. Chứng minh rằng đường tròn qua ba điểm $I,K,N$ tiếp xúc với đường tròn $(I)$.

Bài 4. Trong một hội nghị có $155$ đại biểu, ban tổ chức nhận thấy có ít nhất $2015$ cặp đại biểu quen biết nhau. Chứng minh rằng tồn tại $4$ đại biểu $A,B,C,D$ sao cho $A$ và $B$, $B$ và $C$, $C$ và $D$, $D$ và $A$ quen biết nhau.

Câu bất khá quen thuộc. Thật ra, vế đầu chỉ là hệ quả của vế sau nên ta chỉ cần chứng minh vế sau

Vẫn theo ý tưởng đổi biến $p,q,r$ . Ta cần chứng minh $p\geq$

nếu $p>4$ thì $p> q$ (do $q<4$)

Còn khi $p<=4$ thì dùng schur bậc 3 là ok. Không có gì khó

Chú ý: do điều kiện x,y,z >0 nên x=y=z=1 hoặc 2 số bằng nhau 1 số tiến tới 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 21-11-2015 - 21:52

[dogsteven]

Bài 2. $xy+yz+zx+xyz=4\Leftrightarrow \dfrac{x}{x+2}+\dfrac{y}{y+2}+\dfrac{z}{z+2}=1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\sum x(x+2)\sum \dfrac{x}{x+2}\geqslant (x+y+z)^2\Leftrightarrow x+y+z\geqslant xy+yz+zx$

[Hoang Nhat Tuan]

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $AB+BC=3AC$, đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $AB,BC,CA$ lần lượt tại $D,E,F$. Trên cạnh $AC$ lấy $M$ sao cho $AM=CF$. Gọi $N,P$ là giao điểm của $MB$ và đường tròn $(I)$ với $N$ nằm giữa $B$ và $P$. Đường thẳng $CN$ cắt đường thẳng $DE$ tại $K$. Chứng minh rằng đường tròn qua ba điểm $I,K,N$ tiếp xúc với đường tròn $(I)$.

Lời giải:

Bổ đề: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn $(I)$, $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Kẻ đường kính $DD'$. Gọi $E$ là giao điểm của $AD'$ với $BC$ thì khi đó $BD=CE$.

Gợi ý chứng minh: Vẽ đường tròn bàng tiếp góc A, gọi $r,r_a$ lần lượt là bán kính của 2 đường tròn đó.

Sau đó xét phép vị tự tâm $A$, tỉ số $\frac{r_a}{r}$

....

Áp dụng:

Từ điều kiện của đề bài là $AM=CF$ kết hợp với bổ đề dễ chứng minh $F,I,N$ thẳng hàng hay $NF\perp AC$

Do đó: $tan ACN=\frac{2r}{CF}=\frac{2S_{ABC}}{p(p-c)}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)}}{p\sqrt{p-c}}$

Lại có: $tan(\frac{\Pi }{2}-\frac{\widehat{A}}{2})=cot(\frac{\widehat{A}}{2})=\sqrt{\frac{p(p-a)}{(p-b)(p-c)}}$

Mà: $\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)}}{p\sqrt{p-c}}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{(p-b)(p-c)}}$

Thật vậy: Sau khi rút gọn ta được đẳng thức đúng sau:

$p=2b<=>\frac{a+b+c}{2}=2b<=>a+c=3b$ (Đúng theo giả thiết).

Từ đó dẫn đến $\widehat{ACN}=90^{\circ}-\frac{\widehat{A}}{2}$

Nghĩa là $CN\perp AI$.

Gọi giao điểm của $AI$ và $DE$ là $K'$ thì theo một bổ đề quen thuộc suy ra được $\widehat{AK'C}=90^{\circ}$.

Dẫn đến $K\equiv K'$

Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $INK$ thuộc đoạn thẳng $IN$.

Suy ra điều phải chứng minh.

(Lời giải hơi dài). 

[maitrangtls]

Bài 1:  Giải hệ phương trình 

 

 * Nhận thấy $x=0$ không thỏa mãn hệ phương trình.

 * Với $x\neq 0$ , chia cả hai vế của phương trình (1) cho $x^{3}$ , phương trình (2) cho $x^{2}$ rồi cộng vế với vế được:

$y^{3}+6y^{2}+12y+8=\frac{1}{x^{3}}-\frac{12}{x^{2}}+\frac{48}{x}-64$

$\Leftrightarrow (y+2)^{3}=(\frac{1}{x}-4)^{3}$

$\Leftrightarrow y=\frac{1}{x}-6$

Thay $y=\frac{1}{x}-6$ vào (1) tìm được $(x;y)$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitrangtls: 21-11-2015 - 22:21