Chủ đề này có 5 trả lời

[longatk08]

Cho $x,y,z$ thực dương.Chứng minh BĐT sau:

 

$$\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+xy+yz}+\frac{(y+z)^2}{y^2+z^2+yz+zx}+\frac{(z+x)^2}{z^2+x^2+xy+xz}\leq 3$$

 

[lovelyDevil]

ta có $\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+xy+yz}\leq \frac{x^2}{x^2+xy}+\frac{y^2}{y^2+yz}=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}$  (svax)

mấy cái tê tương tự rồi cộng lại

[tunglamlqddb]

ta có $\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+xy+yz}\leq \frac{x^2}{x^2+xy}+\frac{y^2}{y^2+yz}=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}$  (svax)
mấy cái tê tương tự rồi cộng lại

Bạn làm cụ thể ra đc ko?

[minhrongcon2000]

Như thế này nè bạn, ta có bất đẳng thức sau:

$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{2}}{y_{i}}\geqslant\frac{(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}y_{i}}$

Như vậy nếu áp dụng bất đẳng thức này sẽ ra bài bạn lovelyDevil đã làm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhrongcon2000: 24-10-2015 - 11:27

[longatk08]

ta có $\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+xy+yz}\leq \frac{x^2}{x^2+xy}+\frac{y^2}{y^2+yz}=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}$  (svax)

mấy cái tê tương tự rồi cộng lại

Các phân thức sau ta vẫn thu được đại lượng này hay nói cách khác cách làm này sai.

[TARGET]

Cho $x,y,z$ thực dương.Chứng minh BĐT sau:

 

$$\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+xy+yz}+\frac{(y+z)^2}{y^2+z^2+yz+zx}+\frac{(z+x)^2}{z^2+x^2+xy+xz}\leq 3$$

Tương đương:

$xyz\left ( \sum x^{3} \right )+\sum xy^{5}\geq xyz\left ( \sum xy\left ( x+y \right ) \right )$

Theo AM-GM

$\sum xy^{5}\geq 3x^{2}y^{2}z^{2}$

Bất đẳng thức cuối cùng tương đương$\sum x^{3}+3xyz\geq \sum xy\left ( x+y \right )$ (Luôn đúng theo Schur )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TARGET: 07-12-2022 - 23:32