Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$M$ chuyển động trên $BC$, hbh $MEAF$, $N$ chia $EF$ theo tỉ số $\frac{1}{3}$, $AKN$ vuông cân $N$. Tìm qt $K$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 faster

faster

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Đã gửi 07-05-2006 - 10:58

Cho tam giác $ABC$ có điểm $M$ chuyển động trên cạnh $BC$. Vẽ hình bình hành $MEAF$ với $E$ nằm trên $AB$, $F$ nằm trên $AC$. Điểm $N$ chia đoạn $EF$ theo tỉ số $\frac{1}{3}$. Lấy điểm $K$ thỏa mãn tam giác $ANK$ vuông cân tại $N$.Tìm quỹ tích điểm $K$
 



#2 TMW

TMW

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:lập trình
    cờ tướng
    Chơi đàn, hát một mình

Đã gửi 09-10-2013 - 18:39

Mình chỉ xin nêu lên ý kiến như sau:

Do tam giác ANK vuông cân tại N nên suy ra K là ảnh của N qua một phép vị tự quay tâm A với tỉ số k cố định và góc quay tương ứng trong các trường hợp là -45 độ và +45 độ

Như vậy để tìm quỹ tích của điểm K ta chỉ cần tìm quỹ tích của điểm N là được

Ví dụ khi N nằm trong đoạn EF, ta gọi P là điểm thuộc cạnh AC sao cho AP = AC/3

                                                            Q là điểm thuộc cạnh AB sao cho AQ = 2AC/3

Lúc này quỹ tích điểm N là đoạn thẳng PQ

nên: Quỹ tích K là ảnh của PQ qua các phép vị tự quay tâm A với tỉ số k cố định

..........

Từ đó ta có quỹ tích K



#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1897 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 12-11-2013 - 20:00

Cho tam giác $ABC$ có điểm $M$ chuyển động trên cạnh $BC$. Vẽ hình bình hành $MEAF$ với $E$ nằm trên $AB$, $F$ nằm trên $AC$. Điểm $N$ chia đoạn $EF$ theo tỉ số $\frac{1}{3}$. Lấy điểm $K$ thỏa mãn tam giác $ANK$ vuông cân tại $N$.Tìm quỹ tích điểm $K$
 

Thiết lập hệ trục tọa độ Descartes vuông góc $Oxy$ (trong đó $O\equiv A$ và tia $Ox$ song song và cùng chiều với tia $BC$)

$N$ chia đoạn $EF$ theo tỷ số $\frac{1}{3}$ ---> $\overrightarrow{NE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{NF}$

Gọi $I$ là trung điểm $EF$ ---> $E$ là trung điểm $NI$

Đặt $BC=a$ ; $BM=m$ ($0\leqslant m\leqslant a$).Ta có :

$\frac{x_{E}}{x_{B}}=\frac{a-m}{a}\Rightarrow x_{E}=\frac{(a-m)x_{B}}{a}$

$\frac{x_{F}}{x_{C}}=\frac{m}{a}\Rightarrow x_{F}=\frac{mx_{C}}{a}$

---> $x_{I}=\frac{x_{E}+x_{F}}{2}=\frac{a.x_{B}+m(x_{C}-x_{B})}{2a}$

---> $x_{N}=2x_{E}-x_{I}=\frac{3ax_{B}-m(3x_{B}+x_{C})}{2a}$ (1)

Tương tự $y_{N}=2y_{E}-y_{I}=\frac{3ay_{B}-4my_{B}}{2a}$ (2) (vì $y_{B}=y_{C}$)

---> $\frac{2x_{N}-3x_{B}}{3x_{B}+x_{C}}=\frac{2y_{N}-3y_{B}}{4y_{B}}$

---> $N$ thuộc đường thẳng $t$ : $y=(\frac{4y_{B}}{3x_{B}+x_{C}})x+\frac{3y_{B}(x_{C}-x_{B})}{6x_{B}+2x_{C}}$

$t$ cắt $Oy,Ox$ tại $P(0;\frac{3y_{B}(x_{C}-x_{B})}{6x_{B}+2x_{C}})$ và $Q(-\frac{3(x_{C}-x_{B})}{8};0)$

$K$ là ảnh của $N$ qua phép quay góc $45^o$ (hoặc $-45^o$) và phép vị tự tâm $A$, tỷ số $\sqrt{2}$

---> $K$ thuộc đường thẳng $d$ là ảnh của $t$ qua 2 phép biến hình nói trên.

$1)$ Nếu góc quay là $45^o$ :

Gọi ảnh của $P,Q$ qua 2 phép biến hình đó là $P_{1},Q_{1}$

---> $P_{1}(-\frac{3y_{B}(x_{C}-x_{B})}{6x_{B}+2x_{C}};\frac{3y_{B}(x_{C}-x_{B})}{6x_{B}+2x_{C}})$

Và $Q_{1}(-\frac{3(x_{C}-x_{B})}{8};-\frac{3(x_{C}-x_{B})}{8})$

$\Rightarrow d_{1}:$ (sau khi rút gọn)

$\frac{8x+3(x_{C}-x_{B})}{3x_{B}+x_{C}-4y_{B}}=\frac{8y+3(x_{C}-x_{B})}{3x_{B}+x_{C}+4y_{B}}$

$2)$ Nếu góc quay là $-45^o$

Làm tương tự ta có $d_{2}$ :

$\frac{8x+3(x_{C}-x_{B})}{4y_{B}+3x_{B}+x_{C}}=\frac{8y-3(x_{C}-x_{B})}{4y_{B}-3x_{B}-x_{C}}$

 

Giới hạn quỹ tích :

Vì $0\leqslant m\leqslant a$ nên quỹ tích của $N$ là đoạn $N_{1}N_{2}$ (thuộc $t$), trong đó $N_{1}(\frac{3x_{B}}{2};\frac{3y_{B}}{2})$ và $N_{2}(-\frac{x_{C}}{2};-\frac{y_{C}}{2})$

Vậy quỹ tích điểm $K$ là một phần các đường thẳng có phương trình (trong hệ tọa độ đã nêu ở đầu bài) là :

$d_{1}$ : $\frac{8x+3(x_{C}-x_{B})}{3x_{B}+x_{C}-4y_{B}}=\frac{8y+3(x_{C}-x_{B})}{3x_{B}+x_{C}+4y_{B}}$

$d_{2}$ : $\frac{8x+3(x_{C}-x_{B})}{4y_{B}+3x_{B}+x_{C}}=\frac{8y-3(x_{C}-x_{B})}{4y_{B}-3x_{B}-x_{C}}$

Gọi $N{}'_{1};N{}'_{2}$ lần lượt là ảnh của $N_{1};N_{2}$ qua phép quay góc $45^o$ và phép vị tự tâm $A$ tỷ số $\sqrt{2}$ ($N{}'_{1},N{}'_{2}\in d_{1}$)

$N{}''_{1};N{}''_{2}$ lần lượt là ảnh của $N_{1};N_{2}$ qua phép quay góc $-45^o$ và phép vị tự tâm $A$ tỷ số $\sqrt{2}$ ($N{}''_{1},N{}''_{2}\in d_{2}$)

Thì quỹ tích của $K$ gồm 2 phần :

+ Đoạn thẳng $N{}'_{1}N{}'_{2}\in d_{1}$

+ Đoạn thẳng $N{}''_{1}N{}''_{2}\in d_{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 13-11-2013 - 09:41

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh