Chủ đề này có 2 trả lời

[faster]

Cho tam giác $ABC$ có điểm $M$ chuyển động trên cạnh $BC$. Vẽ hình bình hành $MEAF$ với $E$ nằm trên $AB$, $F$ nằm trên $AC$. Điểm $N$ chia đoạn $EF$ theo tỉ số $\frac{1}{3}$. Lấy điểm $K$ thỏa mãn tam giác $ANK$ vuông cân tại $N$.Tìm quỹ tích điểm $K$
 

[TMW]

Mình chỉ xin nêu lên ý kiến như sau:

Do tam giác ANK vuông cân tại N nên suy ra K là ảnh của N qua một phép vị tự quay tâm A với tỉ số k cố định và góc quay tương ứng trong các trường hợp là -45 độ và +45 độ

Như vậy để tìm quỹ tích của điểm K ta chỉ cần tìm quỹ tích của điểm N là được

Ví dụ khi N nằm trong đoạn EF, ta gọi P là điểm thuộc cạnh AC sao cho AP = AC/3

                                                            Q là điểm thuộc cạnh AB sao cho AQ = 2AC/3

Lúc này quỹ tích điểm N là đoạn thẳng PQ

nên: Quỹ tích K là ảnh của PQ qua các phép vị tự quay tâm A với tỉ số k cố định

..........

Từ đó ta có quỹ tích K

[chanhquocnghiem]

Cho tam giác $ABC$ có điểm $M$ chuyển động trên cạnh $BC$. Vẽ hình bình hành $MEAF$ với $E$ nằm trên $AB$, $F$ nằm trên $AC$. Điểm $N$ chia đoạn $EF$ theo tỉ số $\frac{1}{3}$. Lấy điểm $K$ thỏa mãn tam giác $ANK$ vuông cân tại $N$.Tìm quỹ tích điểm $K$
 

Thiết lập hệ trục tọa độ Descartes vuông góc $Oxy$ (trong đó $O\equiv A$ và tia $Ox$ song song và cùng chiều với tia $BC$)

$N$ chia đoạn $EF$ theo tỷ số $\frac{1}{3}$ ---> $\overrightarrow{NE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{NF}$

Gọi $I$ là trung điểm $EF$ ---> $E$ là trung điểm $NI$

Đặt $BC=a$ ; $BM=m$ ($0\leqslant m\leqslant a$).Ta có :

$\frac{x_{E}}{x_{B}}=\frac{a-m}{a}\Rightarrow x_{E}=\frac{(a-m)x_{B}}{a}$

$\frac{x_{F}}{x_{C}}=\frac{m}{a}\Rightarrow x_{F}=\frac{mx_{C}}{a}$

---> $x_{I}=\frac{x_{E}+x_{F}}{2}=\frac{a.x_{B}+m(x_{C}-x_{B})}{2a}$

---> $x_{N}=2x_{E}-x_{I}=\frac{3ax_{B}-m(3x_{B}+x_{C})}{2a}$ (1)

Tương tự $y_{N}=2y_{E}-y_{I}=\frac{3ay_{B}-4my_{B}}{2a}$ (2) (vì $y_{B}=y_{C}$)

---> $\frac{2x_{N}-3x_{B}}{3x_{B}+x_{C}}=\frac{2y_{N}-3y_{B}}{4y_{B}}$

---> $N$ thuộc đường thẳng $t$ : $y=(\frac{4y_{B}}{3x_{B}+x_{C}})x+\frac{3y_{B}(x_{C}-x_{B})}{6x_{B}+2x_{C}}$

$t$ cắt $Oy,Ox$ tại $P(0;\frac{3y_{B}(x_{C}-x_{B})}{6x_{B}+2x_{C}})$ và $Q(-\frac{3(x_{C}-x_{B})}{8};0)$

$K$ là ảnh của $N$ qua phép quay góc $45^o$ (hoặc $-45^o$) và phép vị tự tâm $A$, tỷ số $\sqrt{2}$

---> $K$ thuộc đường thẳng $d$ là ảnh của $t$ qua 2 phép biến hình nói trên.

$1)$ Nếu góc quay là $45^o$ :

Gọi ảnh của $P,Q$ qua 2 phép biến hình đó là $P_{1},Q_{1}$

---> $P_{1}(-\frac{3y_{B}(x_{C}-x_{B})}{6x_{B}+2x_{C}};\frac{3y_{B}(x_{C}-x_{B})}{6x_{B}+2x_{C}})$

Và $Q_{1}(-\frac{3(x_{C}-x_{B})}{8};-\frac{3(x_{C}-x_{B})}{8})$

$\Rightarrow d_{1}:$ (sau khi rút gọn)

$\frac{8x+3(x_{C}-x_{B})}{3x_{B}+x_{C}-4y_{B}}=\frac{8y+3(x_{C}-x_{B})}{3x_{B}+x_{C}+4y_{B}}$

$2)$ Nếu góc quay là $-45^o$

Làm tương tự ta có $d_{2}$ :

$\frac{8x+3(x_{C}-x_{B})}{4y_{B}+3x_{B}+x_{C}}=\frac{8y-3(x_{C}-x_{B})}{4y_{B}-3x_{B}-x_{C}}$

 

Giới hạn quỹ tích :

Vì $0\leqslant m\leqslant a$ nên quỹ tích của $N$ là đoạn $N_{1}N_{2}$ (thuộc $t$), trong đó $N_{1}(\frac{3x_{B}}{2};\frac{3y_{B}}{2})$ và $N_{2}(-\frac{x_{C}}{2};-\frac{y_{C}}{2})$

Vậy quỹ tích điểm $K$ là một phần các đường thẳng có phương trình (trong hệ tọa độ đã nêu ở đầu bài) là :

$d_{1}$ : $\frac{8x+3(x_{C}-x_{B})}{3x_{B}+x_{C}-4y_{B}}=\frac{8y+3(x_{C}-x_{B})}{3x_{B}+x_{C}+4y_{B}}$

$d_{2}$ : $\frac{8x+3(x_{C}-x_{B})}{4y_{B}+3x_{B}+x_{C}}=\frac{8y-3(x_{C}-x_{B})}{4y_{B}-3x_{B}-x_{C}}$

Gọi $N{}'_{1};N{}'_{2}$ lần lượt là ảnh của $N_{1};N_{2}$ qua phép quay góc $45^o$ và phép vị tự tâm $A$ tỷ số $\sqrt{2}$ ($N{}'_{1},N{}'_{2}\in d_{1}$)

$N{}''_{1};N{}''_{2}$ lần lượt là ảnh của $N_{1};N_{2}$ qua phép quay góc $-45^o$ và phép vị tự tâm $A$ tỷ số $\sqrt{2}$ ($N{}''_{1},N{}''_{2}\in d_{2}$)

Thì quỹ tích của $K$ gồm 2 phần :

+ Đoạn thẳng $N{}'_{1}N{}'_{2}\in d_{1}$

+ Đoạn thẳng $N{}''_{1}N{}''_{2}\in d_{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 13-11-2013 - 09:41