KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016
Ngày thi: 24/10/2015
Bài 1 (4 điểm). Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng
\[a^4+b^4+c^4+a+b+c+\dfrac{2a}{b^2+c^2}+\dfrac{2b}{c^2+a^2}+\dfrac{2c}{a^2+b^2}\geqslant 9\]
Bài 2 (4 điểm). Giải hệ phương trình sau:
\[\left\{ \begin{array}{l} \left(6x+5\right)\sqrt{2x+1}-2y-3y^3=0 \\ y+\sqrt{x}=\sqrt{2x^2+4x-23}\end{array} \right.\]
Bài 3 (4 điểm). Cho đường tròn $(O)$ và một điểm $a$ nằm ngoài đường tròn. Từ điểm $A$ kẻ các tiếp tuyến $AB$, $AC$ tới $(O)$ ($B$, $C$ là các tiếp điểm). Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$; $D$ là một điểm bất kỳ trên $EF$. Từ $D$ kẻ tiếp tuyến $DP$, $DQ$ tới $(O)$ ($P$, $Q$ là các tiếp điểm). Giả sử $PQ$ cắt $EF$ tại $M$. Chứng minh rằng $\widehat{DAM}=90^\circ$.
Bài 4 (4 điểm). Cho các số nguyên dương $x$, $y$ thỏa mãn: $x^2+y^2+1$ chia hết cho $2xy+1$. Chứng minh rằng $x=y$.
Bài 5 (4 điểm). Với các số nguyên dương $a$, $b$, $c$ thuộc đoạn $\left[1, 2015\right]$, hỏi có tất cả bao nhiêu bộ $\left(a,b,c\right)$ sao cho $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho 9?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 25-10-2015 - 21:29
