Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1, chứng minh rằng:
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq (\frac{10}{3})^3$
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq (\frac{10}{3})^3$
Bắt đầu bởi RoyalMadrid, 25-10-2015 - 23:17
#2
Đã gửi 29-10-2015 - 20:30
Frankesten
-
- Thành viên
-
- 60 Bài viết
Hạ sĩ
Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1, chứng minh rằng:
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq (\frac{10}{3})^3$
Ta có:
$$VT=(a+\dfrac{1}{b})(b+\dfrac{1}{c})(c+\dfrac{1}{a})$$
$$=\prod(a+\frac{1}{9b}+\frac{8(a+b+c)}{9b})$$
$$\geq \prod(\frac{2}{3}*\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{8}{9}+\frac{16\sqrt{ac}}{b})\geq(\frac{2}{3}+\frac{8}{9}+\frac{16}{9})^3$$
$$=(\dfrac{10}{3})^3$$ (BDT Holder với 3 bộ số )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Frankesten: 29-10-2015 - 20:39
- RoyalMadrid yêu thích
Why So Serious ?
#3
Đã gửi 06-04-2021 - 11:33
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Ta có: $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})=abc+\frac{1}{abc}+a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq abc+\frac{1}{abc}+10$
Ta cần chứng minh: $abc+\frac{1}{abc}\geq \frac{730}{27}$
$\Leftrightarrow \frac{(27abc-1)(abc-27)}{27abc}$ (Đúng do $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27}$)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 06-04-2021 - 11:33
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
