Đến nội dung

Hình ảnh

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}=5$.Chứng minh rằng: $$ 2x^3+y^3+z^3 \le 64$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
conan98md

conan98md

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}=5$.Chứng minh rằng:
$$ 2x^3+y^3+z^3 \le 64$$


#2
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

 

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}=5$.Chứng minh rằng:
$$ 2x^3+y^3+z^3 \le 64$$

 

Trước tiên dự đoán điểm rơi: $x=z=0;y=4$ hoặc $x=y=0;z=4$.

Do đó ta sử dụng đánh giá $P=2x^3+y^3+z^3\leq 2x^3+(y+z)^3$

Bổ đề: $\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}\geq 1+\sqrt{1+x+y}<=>\sqrt{(1+x)(1+y)}\geq \sqrt{1+x+y}$ (luôn đúng).

Áp dụng vào giả thiết ta thu được:

$5=\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}+\sqrt{1+x^2}\geq 1+\sqrt{1+2(y+z)}+\sqrt{1+x^2}\geq 2+\sqrt{1+2(y+z)+x^2}<=>8\geq x^2+2(y+z)$

Do đó: $y+z\leq 4-\frac{x^2}{2}$

Mà $y,z\geq 0$ do đó $\frac{x^2}{2}\leq 4$ hay $x\leq 2\sqrt{2}$

Và $P\leq 2x^3+(4-\frac{x^2}{2})^3$

Giờ chỉ cần khảo sát hàm trên $\left [ 0;2\sqrt2 \right ]$ nữa là ra :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 15-11-2015 - 06:49

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh