Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}=5$.Chứng minh rằng: $$ 2x^3+y^3+z^3 \le 64$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 conan98md

conan98md

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-10-2015 - 00:36

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}=5$.Chứng minh rằng:
$$ 2x^3+y^3+z^3 \le 64$$


#2 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 15-11-2015 - 06:48

 

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}=5$.Chứng minh rằng:
$$ 2x^3+y^3+z^3 \le 64$$

 

Trước tiên dự đoán điểm rơi: $x=z=0;y=4$ hoặc $x=y=0;z=4$.

Do đó ta sử dụng đánh giá $P=2x^3+y^3+z^3\leq 2x^3+(y+z)^3$

Bổ đề: $\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}\geq 1+\sqrt{1+x+y}<=>\sqrt{(1+x)(1+y)}\geq \sqrt{1+x+y}$ (luôn đúng).

Áp dụng vào giả thiết ta thu được:

$5=\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}+\sqrt{1+x^2}\geq 1+\sqrt{1+2(y+z)}+\sqrt{1+x^2}\geq 2+\sqrt{1+2(y+z)+x^2}<=>8\geq x^2+2(y+z)$

Do đó: $y+z\leq 4-\frac{x^2}{2}$

Mà $y,z\geq 0$ do đó $\frac{x^2}{2}\leq 4$ hay $x\leq 2\sqrt{2}$

Và $P\leq 2x^3+(4-\frac{x^2}{2})^3$

Giờ chỉ cần khảo sát hàm trên $\left [ 0;2\sqrt2 \right ]$ nữa là ra :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 15-11-2015 - 06:49

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh