Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}=5$.Chứng minh rằng: $$ 2x^3+y^3+z^3 \le 64$$
#1
Đã gửi 26-10-2015 - 00:36
#2
Đã gửi 15-11-2015 - 06:48
Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}=5$.Chứng minh rằng:$$ 2x^3+y^3+z^3 \le 64$$
Trước tiên dự đoán điểm rơi: $x=z=0;y=4$ hoặc $x=y=0;z=4$.
Do đó ta sử dụng đánh giá $P=2x^3+y^3+z^3\leq 2x^3+(y+z)^3$
Bổ đề: $\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}\geq 1+\sqrt{1+x+y}<=>\sqrt{(1+x)(1+y)}\geq \sqrt{1+x+y}$ (luôn đúng).
Áp dụng vào giả thiết ta thu được:
$5=\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}+\sqrt{1+x^2}\geq 1+\sqrt{1+2(y+z)}+\sqrt{1+x^2}\geq 2+\sqrt{1+2(y+z)+x^2}<=>8\geq x^2+2(y+z)$
Do đó: $y+z\leq 4-\frac{x^2}{2}$
Mà $y,z\geq 0$ do đó $\frac{x^2}{2}\leq 4$ hay $x\leq 2\sqrt{2}$
Và $P\leq 2x^3+(4-\frac{x^2}{2})^3$
Giờ chỉ cần khảo sát hàm trên $\left [ 0;2\sqrt2 \right ]$ nữa là ra
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 15-11-2015 - 06:49
- conan98md, quan1234 và Taj Staravarta thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh