Chủ đề này có 2 trả lời

[viet nam in my heart]

Cho tam giác $ABC$ nhọn. $X$ là một điểm nằm trên trung trực của $BC$ và nằm trong tam giác $ABC$. $K$ liên hợp đẳng giác với $X$ trong tam giác $ABC$. Gọi $H,I$ lần lượt là trực tâm tam giác $ABC$ và tam giác $XBC$. Chứng minh rằng: $H,I,K$ thẳng hàng.

[nguyenhaan2209]

Đổi tên $2$ điểm liên hợp đẳng giác là $P$, $Q$ như hình vẽ.

Gọi $BE, CF, BK, CL$ lần lượt là các đường cao của $QBC$ và $ABC$, $S$ là giao của $FK$ và $EL$

Bằng cộng góc đơn giản dễ có $PC//LE$ và $PB//KF$

$\Delta LSK$ và $\Delta PBC$ có $3$ cạnh $//$ nên $PI, LE, KF$ đồng quy tại $S$ hay $P$ thuộc $IS$ $(1)$

Áp dụng định lí $Pascal$ cho bộ $(KBELCF)$ thì $H$ cũng thuộc $IS$ $(2)$

Từ $(1) (2)$ thì $P,H,I$ thẳng hàng (ĐPCM)

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 24-08-2018 - 19:15

[nguyenhaan2209]

Kẻ $CE\perp BP$, $CD\perp CB$ thì $\angle ICD=90^o-\widehat{ICB}=\widehat{QBC}, \widehat{HCE}=(90^o-\widehat{PBC})-(90^o-\widehat{ABC})=\widehat{QBC}$

Xét phép quay $(C,\widehat{QCB})$ thì: $A \Rightarrow P,B \Rightarrow Q, I \Rightarrow D,E \Rightarrow H$

Khi đó $B(PHIC)=C(EAQD)=C(HPBI)=C(PHIB) => P,H,I$ thẳng hàng

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 24-08-2018 - 19:12