Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+y+z=3 & & \\ x^3+y^3+z^3=15 & & \\ x^4+y^4+z^4=35 & & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x+y+z=3 & & \\ x^3+y^3+z^3=15 & & \\ x^4+y^4+z^4=35 & & \end{matrix}\right.$
#1
Đã gửi 28-10-2015 - 18:45
#2
Đã gửi 28-10-2015 - 20:40
Đặt $p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz$
Hệ phương trình trở thành :$\left\{\begin{matrix}p=3 & & \\ p^3-3pq+3r=15 & & \\ p^4-4p^2q+2q^2+4pr=35 & & \end{matrix}\right.$
Suy ra: $\left\{\begin{matrix}3q-r=4 & & \\ 18q-q^2-6r=23 & & \end{matrix}\right.$
Do đó :$18q-q^2-6(3q-4)=23$ hay $q^2=1$
Nếu $q=-1$ thì $r=-7$ hay $xy+yz+zx=-1,xyz=-7$. Nhưng nếu $x+y+z=3,xy+yz+zx=-1$ thì ta sẽ chứng minh được:
$xyz \geq -3-\dfrac{16}{3\sqrt{3}} > 7(*)$ (loại)
Nếu $q=1$ thì $r= -1$
Khi đó $x,y,z$ là nghiệm của phương trình $A^3-3A^2+A+1(**)$ (phương trình này có 3 nghiệm $1+\sqrt{2},1,1-\sqrt{2}$)
Việc chứng minh bất đẳng thức $(*)$ và giải phương trình $(**)$ bạn tự làm nhé
- grigoriperelmanlapdi yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh