Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix}x+y+z=3 & & \\ x^3+y^3+z^3=15 & & \\ x^4+y^4+z^4=35 & & \end{matrix}\right.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
grigoriperelmanlapdi

grigoriperelmanlapdi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+y+z=3 & & \\ x^3+y^3+z^3=15 & & \\ x^4+y^4+z^4=35 & & \end{matrix}\right.$



#2
viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết

Đặt $p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz$

Hệ phương trình trở thành :$\left\{\begin{matrix}p=3 & & \\ p^3-3pq+3r=15 & & \\ p^4-4p^2q+2q^2+4pr=35 & & \end{matrix}\right.$

Suy ra: $\left\{\begin{matrix}3q-r=4 & & \\ 18q-q^2-6r=23 & & \end{matrix}\right.$

Do đó :$18q-q^2-6(3q-4)=23$ hay $q^2=1$

Nếu $q=-1$ thì $r=-7$ hay $xy+yz+zx=-1,xyz=-7$. Nhưng nếu $x+y+z=3,xy+yz+zx=-1$ thì ta sẽ chứng minh được:

$xyz \geq -3-\dfrac{16}{3\sqrt{3}} > 7(*)$ (loại)

Nếu $q=1$ thì $r= -1$

Khi đó $x,y,z$ là nghiệm của phương trình $A^3-3A^2+A+1(**)$ (phương trình này có 3 nghiệm $1+\sqrt{2},1,1-\sqrt{2}$)

Việc chứng minh bất đẳng thức $(*)$ và giải phương trình $(**)$ bạn tự làm nhé 


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh