Chủ đề này có 5 trả lời

[HOANG LINH DAN]

Cho $a,b,c\geqslant 0$ thỏa $ab+bc+ca=3$. CMR: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geqslant \frac{3}{2}$

[Master Kaiser]

Vì $a,b,c\geq 0$ và $ab+bc+ca= 3$

$\Rightarrow 0\leq a,b,c\leq 1$

Với $0\leq a\leq 1$ ,suy ra:

$a^{2}\leq 1$

$\Rightarrow 1+a^{2}\leq 2$

$\Rightarrow \frac{1}{1+a^{2}}\geq \frac{1}{2}$

CMTT:$\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{1+c^{2}}\geq \frac{1}{2}$

Khi đó:$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

[Le Dinh Hai]

Vì $a,b,c\geq 0$ và $ab+bc+ca= 3$

$\Rightarrow 0\leq a,b,c\leq 1$

 

Sai rồi bạn.Với $a=b=1,2$,ta có $c=0,65$ 

Khi đó $ab+bc+ca=3$ nhưng $a,b>1$

[Dung Du Duong]

Vì $a,b,c\geq 0$ và $ab+bc+ca= 3$

$\Rightarrow 0\leq a,b,c\leq 1$

Với $0\leq a\leq 1$ ,suy ra:

$a^{2}\leq 1$

$\Rightarrow 1+a^{2}\leq 2$

$\Rightarrow \frac{1}{1+a^{2}}\geq \frac{1}{2}$

CMTT:$\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{1+c^{2}}\geq \frac{1}{2}$

Khi đó:$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Nhầm ngay từ đầu rồi bạn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 28-10-2015 - 21:12

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c\geqslant 0$ thỏa $ab+bc+ca=3$. CMR: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geqslant \frac{3}{2}$

Sau khi quy đồng ta thu được BĐT mới:

$a^2+b^2+c^2+3\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3a^2b^2c^2$

Theo BĐT AM-GM thì: $abc\leq 1\leq \frac{a+b+c}{3}$ nên cần chứng minh:

$a^2+b^2+c^2+3\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc(a+b+c)$

Ta làm sao để đưa BĐT về dạng đồng bậc thì tốt, muốn vậy ta làm như sau:

$(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)^2\geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3abc(a+b+c)$

Rút gọn BĐT trên ta được:

$\sum ab(a^2+b^2)\geq 2\sum a^2b^2$

Đây là 1 bất đẳng thức hiển nhiên

Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c$ hoặc $a=b=\sqrt{3};c=0$ và các hoán vị

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c\geqslant 0$ thỏa $ab+bc+ca=3$. CMR: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geqslant \frac{3}{2}$

Một cách không cần quy đồng (Tại 1 thanh niên nhác quy đồng nhờ ).

Vì $ab+bc+ca=3$ nên ta có thể giả sử $ab\geq 1$

Khi đó ta thu được BĐT sau:

$P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geq \frac{2}{1+ab}+\frac{1}{1+c^2}$

Do đó chỉ cần chứng minh:

$\frac{2}{1+ab}+\frac{1}{1+c^2}\geq \frac{3}{2}$

Chuyển vế rồi ta cần chứng minh: $c^2+3\geq ab+3abc^2$<=> $c^2+ac+bc\geq 3abc^2$ (dễ dàng chứng minh).

Dấu bằng như cách trên.