Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK ĐHQG TP.HCM
Năm học 1998-1999
Bài 1:
a) Tìm tất cả các số nguyên dương $\large n$ sao cho $\large 2^n-1$ chia hết cho $\large 7$ .
b) Cho số nguyên tố $\large p \ge 5$ . Đặt $\large A=3^p-2^p-1$ . Chứng minh A chia hết cho 42p .
Bài 2:
Cho hai số nguyên dương a, b, biết rằng trong bốn mệnh đề P, Q, R, S dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai :
P="a=2b+5"
Q="(a+1) chia hết cho b"
R="(a+b) chia hết cho 3"
S="(a+7b) là số nguyên tố"
a) Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong bốn mệnh đề trên ( có giải thích ) .
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) thỏa ba mệnh đề đúng còn lại .
Bài 3:
a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kì . Chứng minh trong các điểm đã cho luôn tìm được hai điểm sao cho khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $\large \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
b) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kì . Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành một tam giác có diện tích không lớn hơn $\large \dfrac{1}{32}$ .
Bài 4:
Cho x, y, z, p, q, r là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :
$\large x+y+z=p+q+r=1$ và $\large pqr \le \dfrac{1}{2}$
a) Chứng minh rằng nếu $\large x \le y \le z$ thì $\large px+qy+rz \ge \dfrac{x+y}{2}$ .b) Chứng minh rằng $\large px+qy+rz \ge 8xyz$ .
Bài 5:
a) Hãy chỉ ra 1 cách sắp xếp 8 số nguyên dương đầu tiên : 1, 2,..., 8 thành 1 dãy $\large a_1, a_2,..., a_8$ sao cho với 2 số $\large a_i, a_j$ bất kì $\large (i<j)$ thì mọi số trong dãy nằm giữa $\large a_i $và $\large a_j$ đều khác $\large \dfrac{a_i+a_j}{2}$ .
b) Hãy chứng minh rằng với N số nguyên dương đầu tiên : 1, 2,..., N luôn tìm được cách sắp thành dãy $\large a_1, a_2,..., a_N$ sao cho dãy thỏa mãn điều kiện như câu a) .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 25-05-2009 - 16:12