Đề chọn đội tuyển HSG Quốc gia Ninh Bình
Câu 1 : Cho trước số tự nhiên $n(n \geq 3)$; $a_1,a_2,...,a_n$ là các số thực dương bất kì. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
$F=\frac{a_1^2}{na_1^2+a_2a_3}+\frac{a_2^2}{na_2^2+a_3a_4}+...+\frac{a_{n-1}^2}{na_{n-1}^2+a_na_1}+\frac{a_n^2}{na_n^2+a_1a_2}$
Câu 2 : Cho trước $2$ số thực dương $\alpha ,\beta $. Hàm số $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty )$ thỏa mãn $f(f(x))+\alpha f(x)=\beta (\alpha +\beta )x, \forall x>0.$. Tính $f(2015)$
Câu 3 : Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $D$ là một điểm thuộc cung $BC$ của đường tròn $(O)$ không chứa $A$. $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. $P$ là một điểm nằm trên đường thẳng $DM$. $E,F$ lần lượt là hai điểm thuộc đoạn thẳng $AC,AB$ sao cho $PE || DC , PF || DB$. Các tiếp tuyến tại $E,F$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt nhau tại $T$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $O$ cắt nhau tại $S$. Gọi $Q$ là điểm thuộc đường tròn $(O)$ sao cho $DQ || BC$. Chứng minh rằng $AQ || ST$
Câu 4 : Cho $n \geq 3, n\in \mathbb{N}, X \subseteq \left \{ 1;2;...;n^3 \right \}, \left | X \right |=3n^2$. Chứng minh rằng có thể tìm được 9 số $a_1,a_2,...,a_9$ đôi một khác nhau thuộc $X$ sao cho hệ phương trình :
$ \left\{\begin{matrix}a_1x+a_2y+a_3z=0 & & \\ a_4x+a_5y+a_6z=0& & \\ a_7x+a_8y+z_9z=0 & & \end{matrix}\right.$
có nghiệm nguyên $(x_0,y_0,z_0)$ thỏa mãn $x_0,y_0,z_0\neq 0$
