Bài 1 (CĐ Tuyên Quang). Cho V là một không gian véc tơ trên trường K. Giả sử u1 ,u2 ,...,un là một hệ véc - tơ độc lập tuyến tính của V, aij ∈K, 1 ≤ j ≤ i ≤ n. Chứng minh hệ véctơ:
chứng minh hệ vescto là độc lập tuyến tính
#1
Đã gửi 30-10-2015 - 18:16
- Dark Magician 2k2 yêu thích
#2
Đã gửi 30-10-2015 - 21:52
Bài 1 (CĐ Tuyên Quang). Cho V là một không gian véc tơ trên trường K. Giả sử u1 ,u2 ,...,un là một hệ véc - tơ độc lập tuyến tính của V, aij ∈K, 1 ≤ j ≤ i ≤ n. Chứng minh hệ véctơ:
v1 = a11u1 ,v2 = a21u1 + a22u2,v3 = a31u1 + a32u2 + a33u3,. . .vn = an1u1 + an2u2 + . . . annunlà độc lập tuyến tính khi và chỉ khi a11a22...ann khác 0
cho a11...ann khác 0. Nếu c1v1 + ... +cnvn =0 , thì thay v1 , ...,vn qua u1 ,..., un, rồi nhóm hệ số theo các vecto u1 ,.., un .Xét hệ số của un ta suy ra cn = 0 .Tương tự , cứ xét ngược trở lại, ta có cn-1 =0,...,c1 = 0.
Nếu a11...ann = 0 , thì chọn i bé nhất để aii = 0.Khi đó u1 biểu diễn tuyến tính qua v1 ,... Cứ thế ta có ui-1 biểu diễn tuyến tính được qua v1 ,...vi-1 . Sử dụng hệ thức thứ i , ta suy ra vi biểu diễn tuyến tính được qua v1 ,...vi-1 .Do đó hệ v1 , ...,vn phụ thuộc tuyến tính .
#3
Đã gửi 31-10-2015 - 10:50
(1) Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}\neq 0$ thì hệ độc lập tuyến tính.
Giả sử với $\lambda _1,\lambda _2,\ldots , \lambda _n\in \mathbb{R}$ ta có quan hệ tuyến tính
$$\begin{matrix} & \lambda _1v_1+\lambda _2v_2+\cdots +\lambda _nv_n=0 \\ \Leftrightarrow & \lambda _1a_{11}u_1+\lambda _2(a_{21}u_1+a_{22}u_2)+\cdots +\lambda _n(a_{n1}u_1+\cdots +a_{nn}u_n)=0 \\ \Leftrightarrow & (\lambda _1a_{11}+\cdots+\lambda _na_{n1})u_1+(\lambda _2a_{22}+\cdots +\lambda _na_{n2})u_2 +\cdots +\lambda _na_{nn}u_n=0 \end{matrix}$$ Ta có hệ các véc tơ $u_1,u_2,\ldots ,u_n$ độc lập tuyến tính, suy ra $$\left \{ \begin{matrix} a_{11}\lambda _1 & + & a_{21}\lambda _2 & + & \cdots & + & a_{n1}\lambda _n & = & 0 \\ & & a_{22}\lambda _2 & + & \cdots & + & a_{n2}\lambda _n & = & 0 \\ & & & & \ddots & & \vdots & & \\ & & & & & & a_{nn}\lambda _n & = & 0 \end{matrix} \right.$$ Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}\neq 0$ thì hệ phương trình có định thức khác không nên có nghiệm tầm thường $\lambda _1= \lambda _2=\cdots =\lambda _n=0$. Suy ra hệ $v_1,v_2,\ldots ,v_n$ độc lập tuyến tính.
(2) Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}= 0$ thì hệ phụ thuộc tuyến tính.
Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}= 0$ thì hệ phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại ít nhất một số $a_{ii}=0$. Giả sử $i$ là chỉ số nhỏ nhất sao cho $a_{ii}=0,1\leq i\leq n$. Khi đó
$u_1$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1$
$u_2$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1,v_2$
$\ldots $
$u_{i-1}$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1,v_2,\ldots, v_{i-1}$
Vì $a_{ii}=0$ nên từ phương trình thứ $i$ của hệ điều kiện trong giả thiết ta có $$v_i= a_{i1}u_1+a_{i2}u_2+\cdots +a_{i,i-1}u_{i-1}\quad (*)$$
Thay các biểu thị tuyến tính trên vào $(*)$ ta có một biểu thị tuyến tính của $v_i$ theo các véc tơ $v_1,v_2,\ldots ,v_{i-1}$. Suy ra hệ $v_1,v_2,\ldots ,v_{i}$ phụ thuộc tuyến tính.
Vậy hệ véc tơ $v_1,v_2,\ldots ,v_n$ có một hệ con phụ thuộc tuyến tính nên phụ thuộc tuyến tính.
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 11-11-2015 - 04:44
- 19kvh97, huyenlizi và Dark Magician 2k2 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh