Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

chứng minh hệ vescto là độc lập tuyến tính


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Giang Giang

Giang Giang

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-10-2015 - 18:16

Bài 1 (CĐ Tuyên Quang). Cho V là một không gian véc tơ trên trường K. Giả sử u,u2 ,...,un là một hệ véc - tơ độc lập tuyến tính của V, aij ∈K, 1 ≤ j ≤ i ≤ n. Chứng minh hệ véctơ:

v1 = a11u,
v2 = a21u1 + a22u2,
v3 = a31u1 + a32u2 + a33u3,
. . .
vn = an1u1 + an2u2 + . . . annun
là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi a11a22...ann  khác 0
 


#2 winds

winds

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 30-10-2015 - 21:52

 

Bài 1 (CĐ Tuyên Quang). Cho V là một không gian véc tơ trên trường K. Giả sử u,u2 ,...,un là một hệ véc - tơ độc lập tuyến tính của V, aij ∈K, 1 ≤ j ≤ i ≤ n. Chứng minh hệ véctơ:

v1 = a11u,
v2 = a21u1 + a22u2,
v3 = a31u1 + a32u2 + a33u3,
. . .
vn = an1u1 + an2u2 + . . . annun
là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi a11a22...ann  khác 0

 

cho  a11...ann khác 0. Nếu c1v1 + ... +cnvn =0 , thì thay v, ...,vn qua u1 ,..., un, rồi nhóm hệ số theo các vecto u1 ,..,  un .Xét hệ số của un ta suy ra cn = 0 .Tương tự , cứ xét ngược trở lại, ta có cn-1 =0,...,c1 = 0.

  Nếu  a11...ann = 0 , thì chọn i bé nhất để aii = 0.Khi đó u1 biểu diễn tuyến tính qua v1 ,... Cứ thế ta có ui-1 biểu diễn tuyến tính được qua v1 ,...vi-1 . Sử dụng hệ thức thứ i , ta suy ra vi biểu diễn tuyến tính được qua v1 ,...vi-1 .Do đó hệ  v, ...,vn phụ thuộc tuyến tính .



#3 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 31-10-2015 - 10:50

Ta chứng minh hai ý sau:
(1) Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}\neq 0$ thì hệ độc lập tuyến tính.

Giả sử với $\lambda _1,\lambda _2,\ldots , \lambda _n\in \mathbb{R}$ ta có quan hệ tuyến tính
$$\begin{matrix} & \lambda _1v_1+\lambda _2v_2+\cdots +\lambda _nv_n=0 \\ \Leftrightarrow & \lambda _1a_{11}u_1+\lambda _2(a_{21}u_1+a_{22}u_2)+\cdots +\lambda _n(a_{n1}u_1+\cdots +a_{nn}u_n)=0 \\ \Leftrightarrow & (\lambda _1a_{11}+\cdots+\lambda _na_{n1})u_1+(\lambda _2a_{22}+\cdots +\lambda _na_{n2})u_2 +\cdots +\lambda _na_{nn}u_n=0 \end{matrix}$$ Ta có hệ các véc tơ $u_1,u_2,\ldots ,u_n$ độc lập tuyến tính, suy ra $$\left \{ \begin{matrix} a_{11}\lambda _1 & + & a_{21}\lambda _2 & + & \cdots & + & a_{n1}\lambda _n & = & 0 \\ & & a_{22}\lambda _2 & + & \cdots & + & a_{n2}\lambda _n & = & 0 \\ & & & & \ddots & & \vdots & & \\ & & & & & & a_{nn}\lambda _n & = & 0 \end{matrix} \right.$$ Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}\neq 0$ thì hệ phương trình có định thức khác không nên có nghiệm tầm thường $\lambda _1= \lambda _2=\cdots =\lambda _n=0$. Suy ra hệ $v_1,v_2,\ldots ,v_n$ độc lập tuyến tính.

(2) Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}= 0$ thì hệ phụ thuộc tuyến tính.

Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}= 0$ thì hệ phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại ít nhất một số $a_{ii}=0$. Giả sử $i$ là chỉ số nhỏ nhất sao cho $a_{ii}=0,1\leq i\leq n$. Khi đó


$u_1$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1$
$u_2$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1,v_2$
$\ldots $
$u_{i-1}$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1,v_2,\ldots, v_{i-1}$


Vì $a_{ii}=0$ nên từ phương trình thứ $i$ của hệ điều kiện trong giả thiết ta có $$v_i= a_{i1}u_1+a_{i2}u_2+\cdots +a_{i,i-1}u_{i-1}\quad (*)$$
Thay các biểu thị tuyến tính trên vào $(*)$ ta có một biểu thị tuyến tính của $v_i$ theo các véc tơ $v_1,v_2,\ldots ,v_{i-1}$. Suy ra hệ $v_1,v_2,\ldots ,v_{i}$ phụ thuộc tuyến tính.

Vậy hệ véc tơ $v_1,v_2,\ldots ,v_n$ có một hệ con phụ thuộc tuyến tính nên phụ thuộc tuyến tính.

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 11-11-2015 - 04:44

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh